math-public:formuly_dlya_ploshchadej_figur_s_ispolzovaniem_sinusa
Различия
Показаны различия между двумя версиями страницы.
Следующая версия | Предыдущая версия | ||
math-public:formuly_dlya_ploshchadej_figur_s_ispolzovaniem_sinusa [2016/04/07 23:40] – создано labreslav | math-public:formuly_dlya_ploshchadej_figur_s_ispolzovaniem_sinusa [2019/11/25 12:14] (текущий) – [Теорема] labreslav | ||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | =====Теорема===== | ||
+ | - Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла, заключенного между ними. | ||
+ | - Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла, заключенного между ними. | ||
+ | - Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | {{: | ||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | ===Докажем первый пункт теоремы.=== | ||
+ | |||
+ | Пусть в треугольнике $ABC$ известны стороны $b, c$ и угол $A$ между ними. | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Действительно, | ||
+ | |||
+ | Тогда $\sin{A}=\frac{h}{b}$. | ||
+ | |||
+ | Поэтому $h=b\sin{A}$. | ||
+ | |||
+ | Тогда $S_{ABC}=\dfrac{1}{2}ch=\dfrac{1}{2}bc\sin{A}$. | ||
+ | |||
+ | ===Докажем второй пункт теоремы.=== | ||
+ | |||
+ | Пусть в параллелограмме $ABCD$ известны стороны $a, b$ и угол $A$ между ними. | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Действительно, | ||
+ | |||
+ | Тогда $\sin{A}=\frac{h}{b}$. | ||
+ | |||
+ | Поэтому $h=b\sin{A}$. | ||
+ | |||
+ | Тогда $S_{ABCD}=ah=ab\sin{A}$. | ||
+ | |||
+ | ===Докажем третий пункт теоремы.=== | ||
+ | Рассмотрим произвольный выпуклый четырехугольник. | ||
+ | |||
+ | Пусть его диагонали пересекаются в точке $O$. | ||
+ | |||
+ | Обозначим $a=AO, b=CO, c=DO, d=BO$. | ||
+ | |||
+ | Кроме того, $\angle AOB=\angle COD$, а углы $\angle | ||
+ | BOC$ и $\angle AOD$ являются смежными к ним. | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | $\angle AOB, \angle BOC, \angle COD$ и $\angle AOD$ равны. | ||
+ | |||
+ | Обозначим $\sin{\angle AOB}=\sin{\alpha}$. | ||
+ | |||
+ | Тогда $S_{ABCD}=S_{ABO}+S_{BOC}+S_{COD}+S_{AOD}=\dfrac{1}{2}\sin{\alpha}(ad+db+bc+ca)=\dfrac{1}{2}\sin{\alpha}(d(a+b)+c(b+a))=\dfrac{1}{2}\sin{\alpha}(a+b)(c+d)=\dfrac{1}{2}\sin{\alpha}\cdot AC\cdot BD$. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | =====Теорема===== | ||
+ | В любом выпуклом четырехугольнике $ABCD$ выполняется соотношение | ||
+ | $S_{AOB}\cdot S_{COD}=S_{BOC}\cdot S_{AOD}$. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Рассмотрим произвольный выпуклый четырехугольник. | ||
+ | |||
+ | Пусть его диагонали пересекаются в точке $O$. | ||
+ | |||
+ | Обозначим $a=AO, b=CO, c=DO, d=BO$. | ||
+ | |||
+ | Кроме того, $\angle AOB=\angle COD$, а углы $\angle BOC$ и $\angle AOD$ являются смежными к ним. | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | |||
+ | Обозначим $\sin{\angle AOB}=\sin{\alpha}$. | ||
+ | |||
+ | Тогда $S_{ABO}\cdot S_{COD}=\dfrac{1}{2}\sin{\alpha}\cdot | ||
+ | ad\cdot\dfrac{1}{2}\sin{\alpha}\cdot | ||
+ | bc=\dfrac{1}{2}\sin{\alpha}\cdot | ||
+ | db\cdot\dfrac{1}{2}\sin{\alpha}\cdot ac=S_{BOC}\cdot S_{AOD}$. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | =====Следствие===== | ||
+ | В произвольной трапеции площади треугольников, | ||
+ | делят диагонали, | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Рассмотрим трапецию $ABCD$ в которой диагонали $AC$ и $BD$ | ||
+ | пересекаются в точке $O$. | ||
+ | |||
+ | По теореме $S_{AOB}=S_{COD}=S$. | ||
+ | |||
+ | Обозначим $S_1=S_{BOC}$, | ||
+ | |||
+ | Тогда, учитывая теорему, | ||
math-public/formuly_dlya_ploshchadej_figur_s_ispolzovaniem_sinusa.1460061649.txt.bz2 · Последнее изменение: 2016/04/07 23:40 — labreslav