Инструменты пользователя

Инструменты сайта


math-public:formuly_dlya_ploshchadej_figur_s_ispolzovaniem_sinusa

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
math-public:formuly_dlya_ploshchadej_figur_s_ispolzovaniem_sinusa [2016/04/13 23:37]
labreslav [Доказательство]
math-public:formuly_dlya_ploshchadej_figur_s_ispolzovaniem_sinusa [2019/11/25 12:14] (текущий)
labreslav [Теорема]
Строка 1: Строка 1:
 +=====Теорема=====
 +  - Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла, заключенного между ними.
 +  - Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла, заключенного между ними.
 +  - Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.
 +
 +{{:​math-public:​066a.jpg?​direct&​150|}}
 +{{:​math-public:​066b.jpg?​direct&​150|}}
 +{{:​math-public:​066c.jpg?​direct&​150|}}
 +
 +====Доказательство====
 +===Докажем первый пункт теоремы.===
 +
 +Пусть в треугольнике $ABC$ известны стороны $b, c$ и угол $A$ между ними.
 +
 +Докажем,​ что $S_{ABC}=\dfrac{1}{2}bc\sin{A}$.
 +
 +Действительно,​ проведем высоту $h=CD$ из вершины $C$.
 +
 +Тогда $\sin{A}=\frac{h}{b}$.
 +
 +Поэтому $h=b\sin{A}$.
 +
 +Тогда $S_{ABC}=\dfrac{1}{2}ch=\dfrac{1}{2}bc\sin{A}$.
 +
 +===Докажем второй пункт теоремы.===
 +
 +Пусть в параллелограмме $ABCD$ известны стороны $a, b$ и угол $A$ между ними. ​
 +
 +Докажем,​ что $S_{ABCD}=ab\sin{A}$.
 +
 +Действительно,​ проведем высоту $h=BH$ из вершины $B$.
 +
 +Тогда $\sin{A}=\frac{h}{b}$.
 +
 +Поэтому $h=b\sin{A}$. ​
 +
 +Тогда $S_{ABCD}=ah=ab\sin{A}$.
 +
 +===Докажем третий пункт теоремы.===
 +Рассмотрим произвольный выпуклый четырехугольник.
 +
 +Пусть его диагонали пересекаются в точке $O$.
 +
 +Обозначим $a=AO, b=CO, c=DO, d=BO$.
 +
 +Кроме того, $\angle AOB=\angle COD$, а углы $\angle
 +BOC$ и $\angle AOD$ являются смежными к ним.
 +
 +Следовательно,​ синусы углов
 +$\angle AOB, \angle BOC, \angle COD$ и $\angle AOD$ равны.
 +
 +Обозначим $\sin{\angle AOB}=\sin{\alpha}$.
 +
 +Тогда $S_{ABCD}=S_{ABO}+S_{BOC}+S_{COD}+S_{AOD}=\dfrac{1}{2}\sin{\alpha}(ad+db+bc+ca)=\dfrac{1}{2}\sin{\alpha}(d(a+b)+c(b+a))=\dfrac{1}{2}\sin{\alpha}(a+b)(c+d)=\dfrac{1}{2}\sin{\alpha}\cdot AC\cdot BD$.
 +
 +
 +=====Теорема=====
 +В любом выпуклом четырехугольнике $ABCD$ выполняется соотношение
 +$S_{AOB}\cdot S_{COD}=S_{BOC}\cdot S_{AOD}$.
 +
 +{{:​math-public:​066c.jpg?​direct&​300|}}
 +
 +====Доказательство====
 +Рассмотрим произвольный выпуклый четырехугольник.
 +
 +Пусть его диагонали пересекаются в точке $O$.
 +
 +Обозначим $a=AO, b=CO, c=DO, d=BO$.
 +
 +Кроме того, $\angle AOB=\angle COD$, а углы $\angle BOC$ и $\angle AOD$ являются смежными к ним.
 +
 +Следовательно,​ синусы углов $\angle AOB, \angle BOC, \angle COD$ и $\angle AOD$ равны. ​
 +
 +Обозначим $\sin{\angle AOB}=\sin{\alpha}$.
 +
 +Тогда $S_{ABO}\cdot S_{COD}=\dfrac{1}{2}\sin{\alpha}\cdot
 +ad\cdot\dfrac{1}{2}\sin{\alpha}\cdot
 +bc=\dfrac{1}{2}\sin{\alpha}\cdot
 +db\cdot\dfrac{1}{2}\sin{\alpha}\cdot ac=S_{BOC}\cdot S_{AOD}$.
 +
 +
 +=====Следствие=====
 +В произвольной трапеции площади треугольников,​ на которые трапецию
 +делят диагонали,​ удовлетворяют соотношению $S^2=S_1\cdot S_2$.
 +
 +====Доказательство====
 +Рассмотрим трапецию $ABCD$ в которой диагонали $AC$ и $BD$
 +пересекаются в точке $O$.
 +
 +По теореме $S_{AOB}=S_{COD}=S$.
 +
 +Обозначим $S_1=S_{BOC}$,​ $S_2=S_{AOD}$.
 +
 +Тогда, учитывая теорему,​ получим $S^2=S_1\cdot S_2$.
  
math-public/formuly_dlya_ploshchadej_figur_s_ispolzovaniem_sinusa.txt · Последние изменения: 2019/11/25 12:14 — labreslav