Инструменты пользователя

Инструменты сайта


math-public:formuly_dlya_radiusov_vpisannoj_i_opisannoj_okruzhnosti

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

math-public:formuly_dlya_radiusov_vpisannoj_i_opisannoj_okruzhnosti [2016/04/08 18:54] (текущий)
labreslav создано
Строка 1: Строка 1:
 +=====Следствие=====
 +Радиус окружности,​ описанной около треугольника удовлетворяет
 +соотношению $R=\dfrac{abc}{4S}$.
 +
 +====Доказательство====
 +По теореме $2R=\dfrac{a}{\sin{\alpha}}$.
 +
 +Кроме того $S=\frac{1}{2}bc\sin{\alpha}$,​ откуда $\sin{\alpha}=\dfrac{2S}{bc}$.
 +
 +Подставляя это выражение для $\sin{\alpha}$ в формулу для радиуса,​
 +получим $2R=\dfrac{a}{\frac{2S}{bc}}$ или $R=\dfrac{abc}{4S}$.
 +
 +=====Теорема о радиусе окружности,​ вписанной в многоугольник=====
 +Радиус окружности,​ вписанной в многоугольник (в частности,​ в
 +треугольник) удовлетворяет соотношению $S=pr$, где $S$ -- площадь
 +многоугольника,​ а $p$ -- его полупериметр.
 +====Доказательство====
 +Рассмотрим $n$-угольник $A_1A_2A_3\ldots A_n$, в который вписана
 +окружность с центром $O$ и радиусом $r$.
 +
 +Соединим вершины многоугольника с центром окружности и получим $n$ треугольников,​ в
 +каждом из которых высотой является радиус вписанной окружности.
 +
 +Тогда
 +
 +$\displaystyle S=S_{A_1OA_2}+S_{A_2OA_3}+\ldots+S_{A_{n-1}OA_n}=\frac{1}{2}rA_1A_2+\dfrac{1}{2}rA_2A_3+\ldots+\frac{1}{2}rA_{n-1}A_n=\frac{1}{2}r(A_1A_2+\ldots+A_{n-1}A_n)=pr$.
 +
 +
 +=====Теорема=====
 +Радиус окружности,​ вписанной в треугольник,​ и его высоты связаны
 +соотношением
 +$\displaystyle \frac{1}{r}=\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}$.
 +
 +====Доказательство====
 +Так как площадь треугольника равна полупроизведению высоты и
 +стороны,​ к которой эта высота проведена,​ то можно выразить стороны
 +следующим образом:​ $a=\dfrac{2S}{h_a},​ b=\dfrac{2S}{h_b},​
 +c=\dfrac{2S}{h_c}$.
 +
 +Кроме того, так как $S=pr$, то $a+b+c=2p=\dfrac{2S}{r}$.
 +
 +Тогда, складывая первые три равенства,​ получим $\displaystyle \frac{2S}{a}+\frac{2S}{b}+\frac{2S}{c}=\frac{2S}{r}$ ​
 +
 +или $\displaystyle\frac{1}{r}=\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}$.
  
math-public/formuly_dlya_radiusov_vpisannoj_i_opisannoj_okruzhnosti.txt · Последние изменения: 2016/04/08 18:54 — labreslav