math-public:formuly_dlya_radiusov_vpisannoj_i_opisannoj_okruzhnosti

no way to compare when less than two revisions

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+=====Следствие=====
+Радиус окружности, описанной около треугольника удовлетворяет
+соотношению $R=\dfrac{abc}{4S}$.
+====Доказательство====
+По теореме $2R=\dfrac{a}{\sin{\alpha}}$.
+Кроме того $S=\frac{1}{2}bc\sin{\alpha}$, откуда $\sin{\alpha}=\dfrac{2S}{bc}$.
+Подставляя это выражение для $\sin{\alpha}$ в формулу для радиуса,
+получим $2R=\dfrac{a}{\frac{2S}{bc}}$ или $R=\dfrac{abc}{4S}$.
+=====Теорема о радиусе окружности, вписанной в многоугольник=====
+Радиус окружности, вписанной в многоугольник (в частности, в
+треугольник) удовлетворяет соотношению $S=pr$, где $S$ -- площадь
+многоугольника, а $p$ -- его полупериметр.
+====Доказательство====
+Рассмотрим $n$-угольник $A_1A_2A_3\ldots A_n$, в который вписана
+окружность с центром $O$ и радиусом $r$.
+Соединим вершины многоугольника с центром окружности и получим $n$ треугольников, в
+каждом из которых высотой является радиус вписанной окружности.
+Тогда
+$\displaystyle S=S_{A_1OA_2}+S_{A_2OA_3}+\ldots+S_{A_{n-1}OA_n}=\frac{1}{2}rA_1A_2+\dfrac{1}{2}rA_2A_3+\ldots+\frac{1}{2}rA_{n-1}A_n=\frac{1}{2}r(A_1A_2+\ldots+A_{n-1}A_n)=pr$.
+=====Теорема=====
+Радиус окружности, вписанной в треугольник, и его высоты связаны
+соотношением
+$\displaystyle \frac{1}{r}=\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}$.
+====Доказательство====
+Так как площадь треугольника равна полупроизведению высоты и
+стороны, к которой эта высота проведена, то можно выразить стороны
+следующим образом: $a=\dfrac{2S}{h_a}, b=\dfrac{2S}{h_b},
+c=\dfrac{2S}{h_c}$.
+Кроме того, так как $S=pr$, то $a+b+c=2p=\dfrac{2S}{r}$.
+Тогда, складывая первые три равенства, получим $\displaystyle \frac{2S}{a}+\frac{2S}{b}+\frac{2S}{c}=\frac{2S}{r}$
+или $\displaystyle\frac{1}{r}=\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}$.

math-public/formuly_dlya_radiusov_vpisannoj_i_opisannoj_okruzhnosti.txt · Последнее изменение: 2016/04/08 18:54 — labreslav