math-public:harakteristicheskoe-svojstvo-kollinearnyh-vektorov

no way to compare when less than two revisions

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+=====Характеристическое свойство коллинеарных векторов=====
+Вектор $\vec{b}$ коллинеарен ненулевому вектору $\vec{a}$ тогда и
+только тогда, когда $\vec{b}=x\vec{a}$.
+====Доказательство====
+Если $\vec{b}=x\vec{a}$, то векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$
+коллинеарны по определению умножения вектора на число.
+Теперь докажем, что если $\vec{b} \parallel \vec{a}$, то найдется такое
+число $x$, что $\vec{b}=x\vec{a}$.
+Если $\vec{b}=\vec{0}$, то $x=0$.
+Если же $\vec{b}\neq\vec{0}$, то возможны два случая:
+===Первый случай===
+Пусть $\vec{b}\upuparrows \vec{a}$, тогда $x=\dfrac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}$.
+Действительно, вектор $x\vec{a}$ будет сонаправлен с $\vec{b}$, так как $x>0$, кроме того $|x\vec{a}|=\dfrac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}\cdot|\vec{a}|=|\vec{b}|$.
+Следовательно, $\vec{b}=x\vec{a}$.
+===Второй случай===
+Пусть $\vec{b}\updownarrows \vec{a}$.
+Тогда аналогично первому случаю $x=-\dfrac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}$.
+=====Следствие=====
+Два вектора, отложенные от одной и той же точки, лежат на одной
+прямой тогда и только тогда, когда один из них получается из другого
+умножением на число.
+====Доказательство====
+Рассмотрим вектора $\overrightarrow{AX}$ и $\overrightarrow{AB}$.
+Если точка $X$ лежит на прямой $AB$, то вектора $\overrightarrow{AX}$ и $\overrightarrow{AB}$ коллинеарны по
+определению, и, следовательно $\overrightarrow{AX}=x\overrightarrow{AB}$.
+Обратно, если $\overrightarrow{AX}=x\overrightarrow{AB}$, то вектора $\overrightarrow{AX}$ и $\overrightarrow{AB}$ коллинеарны, а так как у них есть общая точка $A$, то они лежат на одной прямой.

math-public/harakteristicheskoe-svojstvo-kollinearnyh-vektorov.txt · Последнее изменение: 2016/05/09 11:09 — labreslav