Инструменты пользователя

Инструменты сайта


math-public:harakteristicheskoe-svojstvo-kollinearnyh-vektorov

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

math-public:harakteristicheskoe-svojstvo-kollinearnyh-vektorov [2016/05/09 11:09] (текущий)
labreslav создано
Строка 1: Строка 1:
 +=====Характеристическое свойство коллинеарных векторов=====
 +Вектор $\vec{b}$ коллинеарен ненулевому вектору $\vec{a}$ тогда и
 +только тогда, когда $\vec{b}=x\vec{a}$.
  
 +====Доказательство====
 +Если $\vec{b}=x\vec{a}$,​ то векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$
 +коллинеарны по определению умножения вектора на число. ​
 +
 +Теперь докажем,​ что если $\vec{b} \parallel \vec{a}$, то найдется такое
 +число $x$, что $\vec{b}=x\vec{a}$.
 +
 +Если $\vec{b}=\vec{0}$,​ то $x=0$.
 +
 +Если же $\vec{b}\neq\vec{0}$,​ то возможны два случая:​
 +===Первый случай===
 +Пусть $\vec{b}\upuparrows \vec{a}$, тогда $x=\dfrac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}$.
 +
 +Действительно,​ вектор $x\vec{a}$ будет сонаправлен с $\vec{b}$, так как $x>0$, кроме того $|x\vec{a}|=\dfrac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}\cdot|\vec{a}|=|\vec{b}|$.
 +
 +Следовательно,​ $\vec{b}=x\vec{a}$.
 +===Второй случай===
 +Пусть $\vec{b}\updownarrows \vec{a}$.
 +
 +Тогда аналогично первому случаю $x=-\dfrac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}$.
 +
 + 
 +=====Следствие=====
 +Два вектора,​ отложенные от одной и той же точки, лежат на одной
 +прямой тогда и только тогда, когда один из них получается из другого
 +умножением на число.
 +
 +====Доказательство====
 +Рассмотрим вектора $\overrightarrow{AX}$ и $\overrightarrow{AB}$.
 +
 +Если точка $X$ лежит на прямой $AB$, то вектора $\overrightarrow{AX}$ и $\overrightarrow{AB}$ коллинеарны по
 +определению,​ и, следовательно $\overrightarrow{AX}=x\overrightarrow{AB}$. ​
 +
 +Обратно,​ если $\overrightarrow{AX}=x\overrightarrow{AB}$,​ то вектора $\overrightarrow{AX}$ и $\overrightarrow{AB}$ коллинеарны,​ а так как у них есть общая точка $A$, то они лежат на одной прямой.
 + 
math-public/harakteristicheskoe-svojstvo-kollinearnyh-vektorov.txt · Последние изменения: 2016/05/09 11:09 — labreslav