math-public:incentr
Различия
Показаны различия между двумя версиями страницы.
math-public:incentr [2016/04/08 18:55] – создано labreslav | math-public:incentr [2016/04/08 18:56] (текущий) – labreslav | ||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | =====Теорема===== | ||
+ | Инцентр делит биссектрису $l_c$ треугольника в отношении | ||
+ | $\dfrac{a+b}{c}$, | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Рассмотрим треугольник $ABC$ со сторонами $a, b$ и $c$, в котором | ||
+ | проведены биссектрисы $BB_1$ и $CC_1$. | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | отношении $\frac{CI}{IC_1}=\frac{a+b}{c}$. | ||
+ | |||
+ | По теореме о биссектрисе $\displaystyle \frac{AB_1}{B_1C}=\frac{c}{a}, | ||
+ | |||
+ | Тогда по теореме Менелая для треугольника $ACC_1$ и секущей $B_1B$ | ||
+ | получаем | ||
+ | |||
+ | $\displaystyle\frac{AB_1}{B_1C}\cdot\frac{CI}{IC_1}\cdot\frac{C_1B}{BA}=\frac{c}{a}\cdot\frac{CI}{IC_1}\cdot\frac{a}{a+b}=1$, | ||
+ | |||
+ | откуда $\displaystyle \frac{CI}{IC_1}=\frac{a+b}{c}$. | ||
+ | |||
+ | =====Теорема===== | ||
+ | Если $M$ -- точка касания со стороной $AC$ окружности, | ||
+ | треугольник $ABC$, то $AM=p-BC$, где $p$ -- полупериметр | ||
+ | треугольника. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Рассмотрим треугольник $ABC$, в который вписана окружность. | ||
+ | |||
+ | Пусть окружность касается сторон $AС, AB$ и $BC$ в точках $M, N$ и $P$ | ||
+ | соответственно. | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Так как касательные к окружности, | ||
+ | $x=AM=AN, y=BN=BP, z=CM=CP$. | ||
+ | |||
+ | Тогда $AM=x=\dfrac{2x+2y+2z}{2}-(y+z)=p-(y+z)=p-BC$. | ||
math-public/incentr.txt · Последнее изменение: 2016/04/08 18:56 — labreslav