Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:incentr [2016/04/08 18:55] – создано labreslav
+++ math-public:incentr [2016/04/08 18:56] (текущий) – labreslav
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+=====Теорема=====
+Инцентр делит биссектрису $l_c$ треугольника в отношении
+$\dfrac{a+b}{c}$, где $a,b$ и $c$ -- стороны треугольника.
+{{:math-public:099.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+Рассмотрим треугольник $ABC$ со сторонами $a, b$ и $c$, в котором
+проведены биссектрисы $BB_1$ и $CC_1$.
+Докажем, что точка пересечения биссектрис $I$ делит биссектрису $CC_1$ в
+отношении $\frac{CI}{IC_1}=\frac{a+b}{c}$.
+По теореме о биссектрисе $\displaystyle \frac{AB_1}{B_1C}=\frac{c}{a}, \frac{AC_1}{C_1B}=\frac{b}{a}$.
+Тогда по теореме Менелая для треугольника $ACC_1$ и секущей $B_1B$
+получаем
+$\displaystyle\frac{AB_1}{B_1C}\cdot\frac{CI}{IC_1}\cdot\frac{C_1B}{BA}=\frac{c}{a}\cdot\frac{CI}{IC_1}\cdot\frac{a}{a+b}=1$,
+откуда $\displaystyle \frac{CI}{IC_1}=\frac{a+b}{c}$.
+=====Теорема=====
+Если $M$ -- точка касания со стороной $AC$ окружности, вписанной в
+треугольник $ABC$, то $AM=p-BC$, где $p$ -- полупериметр
+треугольника.
+{{:math-public:100.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+Рассмотрим треугольник $ABC$, в который вписана окружность.
+Пусть окружность касается сторон $AС, AB$ и $BC$ в точках $M, N$ и $P$
+соответственно.
+Докажем, что $AM=p-BC$.
+Так как касательные к окружности, проведённые из одной точки равны, то можно обозначить
+$x=AM=AN, y=BN=BP, z=CM=CP$.
+Тогда $AM=x=\dfrac{2x+2y+2z}{2}-(y+z)=p-(y+z)=p-BC$.