Инструменты пользователя

Инструменты сайта


math-public:incentr

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

math-public:incentr [2016/04/08 18:55]
labreslav создано
math-public:incentr [2016/04/08 18:56] (текущий)
labreslav
Строка 1: Строка 1:
 +=====Теорема=====
 +Инцентр делит биссектрису $l_c$ треугольника в отношении
 +$\dfrac{a+b}{c}$,​ где $a,b$ и $c$ -- стороны треугольника.
 +
 +{{:​math-public:​099.jpg?​direct&​300|}}
 +
 +====Доказательство====
 +Рассмотрим треугольник $ABC$ со сторонами $a, b$ и $c$, в котором
 +проведены биссектрисы $BB_1$ и $CC_1$.
 +
 +Докажем,​ что точка пересечения биссектрис $I$ делит биссектрису $CC_1$ в
 +отношении $\frac{CI}{IC_1}=\frac{a+b}{c}$.
 +
 +По теореме о биссектрисе $\displaystyle \frac{AB_1}{B_1C}=\frac{c}{a},​ \frac{AC_1}{C_1B}=\frac{b}{a}$.
 +
 +Тогда по теореме Менелая для треугольника $ACC_1$ и секущей $B_1B$
 +получаем
 +
 +$\displaystyle\frac{AB_1}{B_1C}\cdot\frac{CI}{IC_1}\cdot\frac{C_1B}{BA}=\frac{c}{a}\cdot\frac{CI}{IC_1}\cdot\frac{a}{a+b}=1$,​
 +
 +откуда $\displaystyle \frac{CI}{IC_1}=\frac{a+b}{c}$.
 +
 +=====Теорема=====
 +Если $M$ -- точка касания со стороной $AC$ окружности,​ вписанной в
 +треугольник $ABC$, то $AM=p-BC$, где $p$ -- полупериметр
 +треугольника.
 +
 +{{:​math-public:​100.jpg?​direct&​300|}}
 +====Доказательство====
 +Рассмотрим треугольник $ABC$, в который вписана окружность.
 +
 +Пусть окружность касается сторон $AС, AB$ и $BC$ в точках $M, N$ и $P$
 +соответственно.
 +
 +Докажем,​ что $AM=p-BC$.
 +
 +Так как касательные к окружности,​ проведённые из одной точки равны, то можно обозначить
 +$x=AM=AN, y=BN=BP, z=CM=CP$.
 +
 +Тогда $AM=x=\dfrac{2x+2y+2z}{2}-(y+z)=p-(y+z)=p-BC$.
  
math-public/incentr.txt · Последние изменения: 2016/04/08 18:56 — labreslav