math-public:krivye-vtorogo-poryadka-ehllips
Различия
Показаны различия между двумя версиями страницы.
Следующая версия | Предыдущая версия | ||
math-public:krivye-vtorogo-poryadka-ehllips [2016/05/05 11:53] – создано labreslav | math-public:krivye-vtorogo-poryadka-ehllips [2017/04/19 12:39] (текущий) – [Доказательство] labreslav | ||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | |||
+ | ======Эллипс====== | ||
+ | =====Определение===== | ||
+ | Эллипс -- это геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух данных точек $F_1$ и $F_2$ постоянна и при этом больше, | ||
+ | =====Теорема===== | ||
+ | Каноническое уравнение эллипса имеет вид $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, | ||
+ | полуосью эллипса, | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | =====Доказательство===== | ||
+ | Пусть $M(x,y)$ -- это произвольная точка, принадлежащая данному | ||
+ | эллипсу, | ||
+ | |||
+ | Тогда по определению эллипса сумма $MF_1+MF_2$ постоянна. | ||
+ | |||
+ | Пусть эта сумма равна $2a$, то есть $MF_1+MF_2=2a$. | ||
+ | |||
+ | Распишем это равенство с помощью формулы расстояния между двумя | ||
+ | точками: | ||
+ | |||
+ | $$\sqrt{(x-c)^2+y^2}+\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a$$ | ||
+ | |||
+ | Возведём это равенство в квадрат, | ||
+ | |||
+ | $$2x^2+2c^2+2y^2+2\sqrt{(x-c)^2+y^2}\sqrt{(x+c)^2+y^2}=4a^2$$ | ||
+ | |||
+ | или | ||
+ | |||
+ | $$\sqrt{(x-c)^2+y^2}\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a^2-(x^2+y^2+c^2).$$ | ||
+ | |||
+ | При условии, | ||
+ | возвести в квадрат: | ||
+ | |||
+ | $$((x-c)^2+y^2)((x+c)^2+y^2)=4a^4-4a^2(x^2+y^2+c^2)+(x^2+y^2+c^2)^2$$ | ||
+ | |||
+ | или | ||
+ | |||
+ | $$(x^2+c^2+y^2-2xc)(x^2+c^2+y^2+2xc)=4a^4-4a^2x^2-4a^2y^2-4a^2c^2+(x^2+y^2+c^2)^2.$$ | ||
+ | |||
+ | В левой части раскроем скобки, | ||
+ | |||
+ | $$(x^2+y^2+c^2)^2-4x^2c^2=4a^4-2a^2x^2-2a^2y^2-2a^2c^2+(x^2+y^2+c^2)^2.$$ | ||
+ | |||
+ | Сократив подобные слагаемые, | ||
+ | сократив на $4$, получим: | ||
+ | |||
+ | $$a^4-a^2x^2-a^2y^2-a^2c^2+x^2c^2=0.$$ | ||
+ | |||
+ | Перегруппируем слагаемые: | ||
+ | |||
+ | $$(a^4-a^2c^2)+(x^2c^2-x^2a^2)-a^2y^2=0, | ||
+ | |||
+ | $$x^2(a^2-c^2)+a^2y^2=a^2(a^2-c^2)$$ | ||
+ | |||
+ | Так как $a>c$, то можно разделить последнее равенство на $a^2(a^2-c^2)$: | ||
+ | |||
+ | $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1.$$ | ||
+ | |||
+ | Обозначив $b^2=a^2-c^2$, | ||
+ | |||
+ | $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Теперь докажем, | ||
+ | $2a^2-(x^2+y^2+c^2)\geqslant0$. | ||
+ | |||
+ | Преобразуем левую часть: | ||
+ | |||
+ | $$2a^2-(x^2+y^2+c^2)=a^2+(a^2-c^2)-x^2-y^2=a^2+b^2-x^2-y^2.$$ | ||
+ | |||
+ | Из равенства \ref{eq010} следует, | ||
+ | $1-\frac{y^2}{b^2}\leqslant 1$. | ||
+ | |||
+ | Аналогично $y^2=b^2\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)\leqslant b^2$. | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | |||
+ | |||
+ | =====Свойства канонического эллипса===== | ||
+ | - Вершины эллипса имеют координаты $A_{1, | ||
+ | - Фокусы канонической эллипса имеют координаты $F_1(c;0)$ и | ||
+ | - Эксцентриситетом эллипса называется число $e=\frac{c}{a}$. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | =====Теорема о касательной к эллипсу===== | ||
+ | Пусть точка $M(x_0; | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | =====Доказательство===== | ||
+ | По определению касательной к кривой в данной токе $M$ называется предельное положение секущей $M_0M_1$ при условии, | ||
+ | |||
+ | Рассмотрим уравнение секущей к эллипсу, | ||
+ | ней точку $M_1(x_1; | ||
+ | |||
+ | Поскольку точка $M_1$ стремиться к точке $M_0$, можно считать, | ||
+ | |||
+ | Рассмотрим случай, | ||
+ | |||
+ | Так как обе точки лежат на эллипсе $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, | ||
+ | |||
+ | Запишем уравнение прямой $M_0M_1$: | ||
+ | |||
+ | $$\frac{x-x_0}{x_0-x_1}=\frac{y-y_0}{y_0-y_1}, | ||
+ | |||
+ | $$\frac{x-\frac{a}{b}\sqrt{b^2-y_0^2}}{\frac{a}{b}\sqrt{b^2-y_0^2}-\frac{a}{b}\sqrt{b^2-y_1^2}}=\frac{y-y_0}{y_0-y_1}, | ||
+ | |||
+ | $$\frac{(\frac{b}{a}x-\sqrt{b^2-y_0^2})(\sqrt{b^2-y_0^2}+\sqrt{b^2-y_1^2})}{y_1^2-y_0^2}=\frac{y-y_0}{y_0-y_1}, | ||
+ | |||
+ | $$(\frac{b}{a}x-\sqrt{b^2-y_0^2})(\sqrt{b^2-y_0^2}+\sqrt{b^2-y_1^2})=(y_0-y)(y_0+y_1).$$ | ||
+ | |||
+ | Если точка $M_1$ стремиться к точке $M_0$ по эллипсу, | ||
+ | |||
+ | Тогда последнее равенство можно записать в виде | ||
+ | |||
+ | $$(\frac{b}{a}x-\sqrt{b^2-y_0^2})\cdot2\sqrt{b^2-y_0^2}=(y_0-y)\cdot2y_0, | ||
+ | |||
+ | $$\frac{b}{a}x\sqrt{b^2-y_0^2}-b^2+y_0^2=y_0^2-yy_0, | ||
+ | |||
+ | $$\frac{b}{a}x\sqrt{b^2-y_0^2}+yy_0=b^2.$$ | ||
+ | |||
+ | Разделим это равенство на $b^2$: | ||
+ | |||
+ | $$\frac{1}{ab}x\sqrt{b^2-y_0^2}+\frac{yy_0}{b^2}=1.$$ | ||
+ | |||
+ | Учитывая, | ||
+ | |||
+ | $$\frac{x}{a^2}\cdot\frac{a}{b}\sqrt{b^2-y_0^2}+\frac{yy_0}{b^2}=1, | ||
+ | |||
+ | $$\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}=1.$$ | ||
+ | |||
+ | Случай, | ||
+ | координаты этих точек будут иметь вид $M_0(-\frac{a}{b}\sqrt{b^2-y_0^2}; | ||
+ | |||
+ | |||
+ | =====Оптические свойство эллипса===== | ||
+ | |||
+ | Любой луч света, вышедший из одного фокуса эллипса, | ||
+ | какой-либо точки эллипса, | ||
+ | |||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | =====Доказательство===== | ||
+ | Пусть к данному эллипсу в точке $P$ проведена касательная. | ||
+ | |||
+ | Пусть $X$ -- это произвольная точка этой касательной, | ||
+ | |||
+ | Таким образом минимум суммы $F_1X+XF_2$ достигается, | ||
+ | |||
+ | Тогда по теореме \ref{174.1} лучи $PF_1$ и $PF_2$ образуют одинаковые углы с касательной, |
math-public/krivye-vtorogo-poryadka-ehllips.txt · Последнее изменение: 2017/04/19 12:39 — labreslav