Инструменты пользователя

Инструменты сайта


math-public:krivye-vtorogo-poryadka-ehllips

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
math-public:krivye-vtorogo-poryadka-ehllips [2017/02/07 04:08]
labreslav [Доказательство]
math-public:krivye-vtorogo-poryadka-ehllips [2017/04/19 12:39] (текущий)
labreslav [Доказательство]
Строка 1: Строка 1:
  
 +
 +======Эллипс======
 +=====Определение=====
 +Эллипс -- это геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух данных точек $F_1$ и $F_2$ постоянна и при этом больше,​ чем $|F_1F_2|$.
 +=====Теорема=====
 +Каноническое уравнение эллипса имеет вид $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$,​ число $a$  называется большой
 +полуосью эллипса,​ $b$ -- малой полуосью,​ $a>b$.
 +
 +{{:​math-public:​157.jpg?​direct&​300|}}
 +
 +=====Доказательство===== ​   ​
 +Пусть $M(x,y)$ -- это произвольная точка, принадлежащая данному
 +эллипсу,​ а точки $F_1(c;0)$ и $F_2(-c;0)$ -- это его фокусы.
 +
 +Тогда по определению эллипса сумма $MF_1+MF_2$ постоянна.
 +
 +Пусть эта сумма равна $2a$, то есть $MF_1+MF_2=2a$.
 +
 +Распишем это равенство с помощью формулы расстояния между двумя
 +точками:​
 +
 +$$\sqrt{(x-c)^2+y^2}+\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a$$
 +
 +Возведём это равенство в квадрат,​ раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:​
 +
 +$$2x^2+2c^2+2y^2+2\sqrt{(x-c)^2+y^2}\sqrt{(x+c)^2+y^2}=4a^2$$
 +
 +или
 +
 +$$\sqrt{(x-c)^2+y^2}\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a^2-(x^2+y^2+c^2).$$
 +
 +При условии,​ что $2a^2-(x^2+y^2+c^2)\geqslant0$,​ данное уравнение можно
 +возвести в квадрат:​
 +
 +$$((x-c)^2+y^2)((x+c)^2+y^2)=4a^4-4a^2(x^2+y^2+c^2)+(x^2+y^2+c^2)^2$$
 +
 +или
 +
 +$$(x^2+c^2+y^2-2xc)(x^2+c^2+y^2+2xc)=4a^4-4a^2x^2-4a^2y^2-4a^2c^2+(x^2+y^2+c^2)^2.$$
 +
 +В левой части раскроем скобки,​ используя формулу разности квадратов:​
 +
 +$$(x^2+y^2+c^2)^2-4x^2c^2=4a^4-2a^2x^2-2a^2y^2-2a^2c^2+(x^2+y^2+c^2)^2.$$
 +
 +Сократив подобные слагаемые,​ перенеся все слагаемые в одну часть, и
 +сократив на $4$, получим:​
 +
 +$$a^4-a^2x^2-a^2y^2-a^2c^2+x^2c^2=0.$$
 +
 +Перегруппируем слагаемые:​
 +
 +$$(a^4-a^2c^2)+(x^2c^2-x^2a^2)-a^2y^2=0,​$$
 +
 +$$x^2(a^2-c^2)+a^2y^2=a^2(a^2-c^2)$$
 +
 +Так как $a>c$, то можно разделить последнее равенство на $a^2(a^2-c^2)$:​
 +
 +$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1.$$
 +
 +Обозначив $b^2=a^2-c^2$,​ получим
 +
 +$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$$
 +
 +
 +Теперь докажем,​ что любая пара чисел $(x,y)$, удовлетворяющая последнему равенству,​ удовлетворяет условию
 +$2a^2-(x^2+y^2+c^2)\geqslant0$.
 +
 +Преобразуем левую часть: ​
 +
 +$$2a^2-(x^2+y^2+c^2)=a^2+(a^2-c^2)-x^2-y^2=a^2+b^2-x^2-y^2.$$
 +
 +Из равенства \ref{eq010} следует,​ что $x^2=a^2\left(1-\frac{y^2}{b^2}\right)\leqslant a^2$, так как
 +$1-\frac{y^2}{b^2}\leqslant 1$.
 +
 +Аналогично $y^2=b^2\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)\leqslant b^2$.
 +
 +Следовательно,​ $x^2\leqslant a^2, y^2\leqslant b^2$, а значит,​ $x^2+y^2\leqslant a^2+b^2$или $a^2+b^2-x^2-y^2\geqslant 0.$
 +
 +Следовательно,​ $2a^2-(x^2+y^2+c^2)=(a^2-x^2)+(a^2-c^2-y^2)=(a^2-x^2)+(b^2-y^2)\geqslant0.$
 +
 +
 +=====Свойства канонического эллипса=====
 +  - Вершины эллипса имеют координаты $A_{1,​2}(\pm a;0)$ и $B_{1,​2}(0;​\pm ​ b)$.
 +  - Фокусы канонической эллипса имеют координаты $F_1(c;0)$ и   ​$F_2(-c;​0)$,​ при этом $b^2=a^2-c^2$ и $a>c$.
 +  - Эксцентриситетом эллипса называется число $e=\frac{c}{a}$.
 +
 +
 +=====Теорема о касательной к эллипсу=====
 +Пусть точка $M(x_0;​y_0)$ -- произвольная точка эллипса $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$. Тогда уравнение касательной к эллипсу,​ проведенной в этой точке имеет вид $\dfrac{xx_0}{a^2}+\dfrac{yy_0}{b^2}=1$.
 +
 +{{:​math-public:​158.jpg?​direct&​300|}}
 +
 +=====Доказательство=====
 +По определению касательной к кривой в данной токе $M$ называется предельное положение секущей $M_0M_1$ при условии,​ что точка $M_1$ стремится к точке $M_0$ по данной кривой.
 +
 +Рассмотрим уравнение секущей к эллипсу,​ проходящей через точку $M_0(x_0;​y_0)$ и не совпадающую с
 +ней точку $M_1(x_1;​y_1)$.
 +
 +Поскольку точка $M_1$ стремиться к точке $M_0$, можно считать,​ что знаки их соответствующих координат совпадают (если одна из координат точки $M_0$ равна 0, то соответствующую координату точки $M_1$ будем брать с каким-либо определённым знаком).
 +
 +Рассмотрим случай,​ когда абсциссы точек $M_0$ и $M_1$ неотрицательны.
 +
 +Так как обе точки лежат на эллипсе $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$,​ то их координаты можно записать в виде $M_0(\frac{a}{b}\sqrt{b^2-y_0^2};​y_0),​ M_1(\frac{a}{b}\sqrt{b^2-y_1^2};​y_1)$.
 +
 +Запишем уравнение прямой $M_0M_1$:
 +
 +$$\frac{x-x_0}{x_0-x_1}=\frac{y-y_0}{y_0-y_1},​$$
 +
 +$$\frac{x-\frac{a}{b}\sqrt{b^2-y_0^2}}{\frac{a}{b}\sqrt{b^2-y_0^2}-\frac{a}{b}\sqrt{b^2-y_1^2}}=\frac{y-y_0}{y_0-y_1},​$$
 +
 +$$\frac{(\frac{b}{a}x-\sqrt{b^2-y_0^2})(\sqrt{b^2-y_0^2}+\sqrt{b^2-y_1^2})}{y_1^2-y_0^2}=\frac{y-y_0}{y_0-y_1},​$$
 +
 +$$(\frac{b}{a}x-\sqrt{b^2-y_0^2})(\sqrt{b^2-y_0^2}+\sqrt{b^2-y_1^2})=(y_0-y)(y_0+y_1).$$
 +
 +Если точка $M_1$ стремиться к точке $M_0$ по эллипсу,​ то $y_1$ стремиться к $y_0$.
 +
 +Тогда последнее равенство можно записать в виде
 +
 +$$(\frac{b}{a}x-\sqrt{b^2-y_0^2})\cdot2\sqrt{b^2-y_0^2}=(y_0-y)\cdot2y_0,​$$
 +
 +$$\frac{b}{a}x\sqrt{b^2-y_0^2}-b^2+y_0^2=y_0^2-yy_0,​$$
 +
 +$$\frac{b}{a}x\sqrt{b^2-y_0^2}+yy_0=b^2.$$
 +
 +Разделим это равенство на $b^2$:
 +
 +$$\frac{1}{ab}x\sqrt{b^2-y_0^2}+\frac{yy_0}{b^2}=1.$$
 +
 +Учитывая,​ что $x_0=\frac{a}{b}\sqrt{b^2-y_0^2}$,​ получаем:​
 +
 +$$\frac{x}{a^2}\cdot\frac{a}{b}\sqrt{b^2-y_0^2}+\frac{yy_0}{b^2}=1,​$$
 +
 +$$\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}=1.$$
 +
 +Случай,​ когда абсциссы точек $M_0$ и $M_1$ отрицательны рассматривается аналогично,​ с той лишь разницей,​ что теперь
 +координаты этих точек будут иметь вид $M_0(-\frac{a}{b}\sqrt{b^2-y_0^2};​y_0),​ M_1(-\frac{a}{b}\sqrt{b^2-y_1^2};​y_1)$.
 +
 +
 +=====Оптические свойство эллипса=====
 +
 +Любой луч света, вышедший из одного фокуса эллипса,​ отразившись от
 +какой-либо точки эллипса,​ проходит через другой его фокус.
 +
 +
 +{{:​math-public:​159.jpg?​direct&​300|}}
 +
 +
 +=====Доказательство===== ​   ​
 +Пусть к данному эллипсу в точке $P$ проведена касательная.
 +
 +Пусть $X$ -- это произвольная точка этой касательной,​ отличная от точки $P$. Очевидно,​ что точка $X$ лежит вне эллипса,​ следовательно,​ $F_1X+XF_2>​F_1P+PF_2$.
 +
 +Таким образом минимум суммы $F_1X+XF_2$ достигается,​ если точка $X$ совпадает с точкой $P$.
 +
 +Тогда по теореме \ref{174.1} лучи $PF_1$ и $PF_2$ образуют одинаковые углы с касательной,​ что соответствует правилу отражения лучей света.
math-public/krivye-vtorogo-poryadka-ehllips.txt · Последние изменения: 2017/04/19 12:39 — labreslav