math-public:krivye-vtorogo-poryadka-parabola
no way to compare when less than two revisions
Различия
Показаны различия между двумя версиями страницы.
— | math-public:krivye-vtorogo-poryadka-parabola [2016/05/05 11:52] (текущий) – создано labreslav | ||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | |||
+ | ======Парабола====== | ||
+ | =====Определение===== | ||
+ | Парабола -- это геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой и данной точки, не лежащей на этой прямой. Прямая называется директрисой, | ||
+ | |||
+ | =====Теорема===== | ||
+ | Каноническое уравнение параболы имеет вид $y^2=2px$. При этом | ||
+ | уравнение директрисы $x=-\frac{p}{2}$, | ||
+ | |||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | =====Доказательство===== | ||
+ | Пусть точка $F(\frac{p}{2}; | ||
+ | |||
+ | Пусть точка $M(x;y)$ -- это произвольная точка параболы. | ||
+ | |||
+ | Тогда по определению $MF=\rho(M; | ||
+ | |||
+ | Используя формулу расстояния между двумя точками, | ||
+ | |||
+ | Возведя обе части этого уравнения в квадрат, | ||
+ | |||
+ | =====Теорема о касательной к параболе===== | ||
+ | Пусть точка $M_0(x_0; | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | По определению касательной к кривой в данной токе $M$ называется предельное положение секущей $M_0M_1$ при условии, | ||
+ | |||
+ | Рассмотрим уравнение секущей к параболе, | ||
+ | |||
+ | Так как обе точки лежат на параболе $y^2=2px$, то их координаты можно записать в виде $M_0(\frac{y_0^2}{2p}; | ||
+ | M_1(\frac{y_1^2}{2p}; | ||
+ | |||
+ | Запишем уравнение прямой $M_0M_1$: $\frac{x-x_0}{x_0-x_1}=\frac{y-y_0}{y_0-y_1}, | ||
+ | \frac{x-\frac{y_0^2}{2p}}{\frac{y_0^2}{2p}-\frac{y_1^2}{2p}}=\frac{y-y_0}{y_0-y_1}, | ||
+ | |||
+ | Если точка $M_1$ стремиться к точке | ||
+ | |||
+ | Тогда последнее равенство можно записать в виде $2px-y_0^2=(y-y_0)\cdot2y_0$ или | ||
+ | |||
+ | |||
+ | =====Оптические свойства параболы===== | ||
+ | - Любой луч света, исходящий из фокуса параболы, | ||
+ | - Если источник света помещен в фокусе параболы, | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | =====Доказательство===== | ||
+ | Рассмотрим каноническую параболу $y^2=2px$. | ||
+ | |||
+ | Пусть $F(\frac{p}{2}; | ||
+ | |||
+ | Пусть луч света $FM$, отразившись от параболы переходит в луч $MA$. Кроме того, пусть $B$ -- это точка пересечения | ||
+ | оси $Ox$ с касательной к параболе, | ||
+ | |||
+ | По свойству отражения луча света $\a BMF=\a CMF$. | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Так как ордината точки $B$ равна нулю, то из уравнения касательной $yy_0=p(x+x_0)$ легко найти, что абсцисса точки $B$ равна $-x_0$. | ||
+ | |||
+ | По формуле расстояния между двумя точками, | ||
+ | $MF=\sqrt{(x_0-\frac{p}{2})^2+y_0}=\sqrt{(x_0-\frac{p}{2})^2+2px_0}=\sqrt{(x_0+\frac{p}{2})^2}=x_0+\frac{p}{2}=BF$. | ||
+ | |||
+ | Таким образом $\angle FBM=\angle FMB$, следовательно, | ||
+ | |||
+ | А так как эти углы являются соответственными, | ||
+ | |||
+ | Докажем второй пункт теоремы. | ||
+ | |||
+ | Необходимо доказать, | ||
+ | |||
+ | Пусть фронт волны изображается прямой $x=x_0$. | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | По первому пункту теоремы лучи $M_1Q_1$ и $M_2Q_2$ параллельны оси параболы, | ||
+ | |||
+ | Тогда по определению параболы $FM_1=M_1P$ и $FM_2=M_2P_2$. | ||
+ | |||
+ | Тогда $FM_1+M_1Q_1=P_1M_1+M_1Q_1=P_1Q_1=x_0+\frac{p}{2}=P_2Q_2=P_2M_2+M_2Q_2=M_2F+M_2Q_2$. |
math-public/krivye-vtorogo-poryadka-parabola.txt · Последнее изменение: 2016/05/05 11:52 — labreslav