Инструменты пользователя

Инструменты сайта


math-public:krivye-vtorogo-poryadka-parabola

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

math-public:krivye-vtorogo-poryadka-parabola [2016/05/05 11:52] (текущий)
labreslav создано
Строка 1: Строка 1:
  
 +
 +======Парабола======
 +=====Определение=====
 +Парабола -- это геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой и данной точки, не лежащей на этой прямой. Прямая называется директрисой,​ а точка -- фокусом параболы.
 +
 +=====Теорема=====
 +Каноническое уравнение параболы имеет вид $y^2=2px$. При этом
 +уравнение директрисы $x=-\frac{p}{2}$,​ фокус $F(\frac{p}{2};​0)$.
 +
 +
 +{{:​math-public:​153.jpg?​direct&​300|}}
 +
 +
 +=====Доказательство===== ​   ​
 +Пусть точка $F(\frac{p}{2};​0)$ -- это фокус параболы,​ а прямая $l$ с уравнением $x=-\frac{p}{2}$ -- это её директриса.
 +
 +Пусть точка $M(x;y)$ -- это произвольная точка параболы.
 +
 +Тогда по определению $MF=\rho(M;​l)$.
 +
 +Используя формулу расстояния между двумя точками,​ получим $\sqrt{(x-\frac{p}{2})^2+y^2}=x+\frac{p}{2}$.
 +
 +Возведя обе части этого уравнения в квадрат,​ раскрыв скобки и сократив подобные слагаемые,​ получим $y^2=2px$.
 +
 +=====Теорема о касательной к параболе=====
 +Пусть точка $M_0(x_0;​y_0)$ -- произвольная точка параболы $y^2=2px$. Тогда уравнение касательной к параболе,​ проведенной в этой точке имеет вид $yy_0=p(x+x_0)$.
 +
 +{{:​math-public:​154.jpg?​direct&​300|}}
 +
 +====Доказательство====
 +По определению касательной к кривой в данной токе $M$ называется предельное положение секущей $M_0M_1$ при условии,​ что точка $M_1$ стремится к точке $M_0$ по данной кривой.
 +
 +Рассмотрим уравнение секущей к параболе,​ проходящей через точку $M_0(x_0;​y_0)$ и не совпадающую с ней точку $M_1(x_1;​y_1)$ (рис. \ref{pic154}).
 +
 +Так как обе точки лежат на параболе $y^2=2px$, то их координаты можно записать в виде $M_0(\frac{y_0^2}{2p};​y_0),​
 +M_1(\frac{y_1^2}{2p};​y_1)$.
 +
 +Запишем уравнение прямой $M_0M_1$: $\frac{x-x_0}{x_0-x_1}=\frac{y-y_0}{y_0-y_1},​
 +\frac{x-\frac{y_0^2}{2p}}{\frac{y_0^2}{2p}-\frac{y_1^2}{2p}}=\frac{y-y_0}{y_0-y_1},​ \frac{2px-y_0^2}{y_0^2-y_1^2}=\frac{y-y_0}{y_0-y_1},​ 2px-y_0^2=(y-y_0)(y_0+y_1)$.
 +
 +Если точка $M_1$ стремиться к точке ​ $M_0$ по параболе,​ то $y_1$ стремиться к $y_0$.
 +
 +Тогда последнее равенство можно записать в виде $2px-y_0^2=(y-y_0)\cdot2y_0$ или ​ $2px-y_0^2=2yy_0-2y_0^2,​ 2px+y_0^2=2yy_0$. А так как $y_0^2=2px_0$,​ то получаем уравнение $2px+2px_0=2yy_0$ или $p(x+x_0)=yy_0$.
 +
 +
 +=====Оптические свойства параболы=====
 +  - Любой луч света, исходящий из фокуса параболы,​ после отражения от параболы становится параллельным оси параболы.
 +  - Если источник света помещен в фокусе параболы,​ то фронт отраженной от параболы волны представляет собой отрезок,​ соединяющий две точки параболы и параллельный ее директрисе.
 +
 +{{:​math-public:​155.jpg?​direct&​300|}}
 +{{:​math-public:​156.jpg?​direct&​300|}}
 +
 +=====Доказательство===== ​   ​
 +Рассмотрим каноническую параболу $y^2=2px$.
 +
 +Пусть $F(\frac{p}{2};​0)$ -- это фокус параболы,​ а точка $M(x_0;​y_0)$ произвольная точка данной параболы.
 +
 +Пусть луч света $FM$, отразившись от параболы переходит в луч $MA$. Кроме того, пусть $B$ -- это точка пересечения
 +оси $Ox$ с касательной к параболе,​ проведенной в точке $M$.
 +
 +По свойству отражения луча света $\a BMF=\a CMF$.
 +
 +Докажем,​ что треугольник $BMF$ -- равнобедренный.
 +
 +Так как ордината точки $B$ равна нулю, то из уравнения касательной $yy_0=p(x+x_0)$ легко найти, что абсцисса точки $B$ равна $-x_0$.
 +
 +По формуле расстояния между двумя точками,​ имеем:
 +$MF=\sqrt{(x_0-\frac{p}{2})^2+y_0}=\sqrt{(x_0-\frac{p}{2})^2+2px_0}=\sqrt{(x_0+\frac{p}{2})^2}=x_0+\frac{p}{2}=BF$.
 +
 +Таким образом $\angle FBM=\angle FMB$, следовательно,​ $\angle FBM=\angle CMF$.
 +
 +А так как эти углы являются соответственными,​ то прямые $MA$ и $BF$ параллельны.
 +
 +Докажем второй пункт теоремы.
 +
 +Необходимо доказать,​ что вне зависимости от выбора точки на параболе сумма расстояний от неё до фокуса и до выбранного фронта будет постоянна.
 +
 +Пусть фронт волны изображается прямой $x=x_0$.
 +
 +Докажем,​ что для точек $M_1$ и $M_2$ будет выполнено $FM_1+M_1Q_1=FM_2+M_2Q_2$.
 +
 +По первому пункту теоремы лучи $M_1Q_1$ и $M_2Q_2$ параллельны оси параболы,​ следовательно,​ они перпендикулярны директрисе.
 +
 +Тогда по определению параболы $FM_1=M_1P$ и $FM_2=M_2P_2$.
 +
 +Тогда $FM_1+M_1Q_1=P_1M_1+M_1Q_1=P_1Q_1=x_0+\frac{p}{2}=P_2Q_2=P_2M_2+M_2Q_2=M_2F+M_2Q_2$.
math-public/krivye-vtorogo-poryadka-parabola.txt · Последние изменения: 2016/05/05 11:52 — labreslav