Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:lachernovic [2020/02/18 16:35] – labreslav
+++ math-public:lachernovic [2020/02/18 16:37] (текущий) – labreslav
@@ Строка 357: / Строка 357: @@
+**2015 год**
+===Вариант I===
+Дано уравнение $ay^2-2(a^2+2)y+9a=0$ $(*)$
+  - Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $(*)$ имеет корень $\dfrac{9+\sqrt{45}}{2}$.
+  - Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $(*)$ имеет ровно один корень.
+  - При каких значениях $a$ уравнение $(*)$ имеет два различных корня $y_1$ и $y_2$, удовлетворяющих условию $a\cdot\left(\dfrac{1}{y_1}+\dfrac{1}{y_2}\right)<1$?
+  - Найдите $a$ и $b$ такие, что при всех значениях $y$ выполнено равенство $ay^2-2(a^2+2)y+9a=a\cdot(y-3)(y-4)+b$.
+  -  Докажите, что если уравнение $(*)$ имеет два положительных корня, один из которых меньше $\dfrac{1}{2}$, то $a+\dfrac{2}{a}>9$.
+  - При каких $c$ существуют $a$ и $b$ такие, что при всех значениях $y$ выполнено равенство $ay^2-2(a^2+2)y+9a=a\cdot(y-c)(y-c-1)+b$?
+===Вариант II===
+Дано уравнение $bt^2-2(3b^2+1)t+16b=0$ $(*)$
+  - Найдите все значения $b$, при каждом из которых уравнение $(*)$ имеет корень $\dfrac{13-\sqrt{105}}{2}$.
+  - Найдите все значения $b$, при каждом из которых уравнение $(*)$ имеет ровно один корень.
+  - При каких значениях $b$ уравнение $(*)$ имеет два различных корня $t_1$ и $t_2$, удовлетворяющих условию $b\cdot\left(\dfrac{1}{t_1}+\dfrac{1}{t_2}\right)<1$?
+  - Найдите $a$ и $b$ такие, что при всех значениях $t$ выполнено равенство $bt^2-2(3b^2+1)t+16b=b\cdot(t+5)(t+4)+a$.
+  - Докажите, что если уравнение $(*)$ имеет два положительных корня, один из которых меньше $1$, то $3b+\dfrac{1}{b}>8$.
+  - При каких $c$ существуют $a$ и $b$ такие, что при всех значениях $t$ выполнено равенство $bt^2-2(3b^2+1)t+16b=b\cdot(t+c)(t+c+1)+a$?
+**2017 год**
+===Вариант I===
+Дана функция $f(x)=a^2x^2+2(a+1)x+a-1$.
+  - Пусть $a=2$. Решите уравнение $f(x)=0$.
+  - При каких значениях $a$ число $x=\dfrac{-3-\sqrt{5}}{4}$ имеет два различных корня?
+  - При каких значениях $a$ уравнение $f(x)=-2$ имеет два различных корня?
+  - Докажите, что если уравнение $f(x)=-2$ имеет два различных ненулевых корня $x_1$ и $x_2$, то $\dfrac{1}{x_1^2}+\dfrac{1}{x_2^2}>2$.
+  - При каких значениях $a$ уравнение $f(x)=-2$ имеет два различных корня, один из которых равен удвоенному второму?
+  - При каких значениях $a$ уравнение $\dfrac{a^2x^2+2(a+1)x+a+1}{x+2}=0$ имеет два различных корня? Ответ запишите в виде объединения промежутков.
+===Вариант II===
+Дана функция $g(x)=b^2x^2+2(b-1)x-b-1$.
+  - Пусть $b=2$. Решите уравнение $g(x)=0$.
+  - При каких значениях $b$ число $x=\dfrac{-1-\sqrt{13}}{4}$ является корнем уравнения $g(x)=0$?
+  - При каких значениях $b$ уравнение $b$ уравнение $g(x)=-2$ имеет два различных корня?
+  - Докажите, что если уравнение $g(x)=-2$ имеет два различных ненулевых корня $x_1$ и $x_2$, то $\dfrac{1}{x_1^2}+\dfrac{1}{x_2^2}>2$.
+  - При каких значениях $b$ уравнение $g(x)=-2$ имеет два различных корня, один из которых равен утроенному второму?
+  - При каких значениях $b$ уравнение $\dfrac{b^2x^2+2(b-1)x-b+1}{x-2}=0$ имеет два различных корня? Ответ запишите в виде объединения промежутков.