math-public:mnogougolniki
Различия
Показаны различия между двумя версиями страницы.
Предыдущая версия справа и слеваПредыдущая версияСледующая версия | Предыдущая версия | ||
math-public:mnogougolniki [2016/04/14 10:34] – labreslav | math-public:mnogougolniki [2022/01/14 17:49] (текущий) – [Доказательство] mesuslina | ||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | [[: | ||
+ | =======Многоугольники.======= | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ======Ломаная====== | ||
+ | =====Определение===== | ||
+ | **Ломаной линией**, | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | =====Виды ломаной===== | ||
+ | - Ломаная называется **замкнутой**, | ||
+ | - Ломаная может пересекать сама себя, коснуться сама себя, налегать на себя. Если таких особенностей нет, то такая ломаная называется **простой**. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | {{: | ||
+ | {{: | ||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ======Многоугольники====== | ||
+ | =====Определение===== | ||
+ | Простая замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | =====Замечание===== | ||
+ | В каждой вершине многоугольника его стороны задают некоторый угол многоугольника. Он может быть как меньше развернутого, | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | =====Свойство===== | ||
+ | У каждого многоугольника есть угол, меньший $180^\circ$. | ||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | Пусть дан многоугольник $P$. | ||
+ | |||
+ | Проведем какую-нибудь прямую, | ||
+ | |||
+ | На прямой $a$ лежит хотя бы одна вершина многоугольника. В ней сходится две его стороны, | ||
+ | |||
+ | =====Определение===== | ||
+ | Многоугольник называется **выпуклым**, | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ====Замечание==== | ||
+ | Выпуклый многоугольник является пересечением полуплоскостей, | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | =====Свойства выпуклого многоугольника===== | ||
+ | - У выпуклого многоугольника все углы меньше $180^\circ$. | ||
+ | - Отрезок, | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | ===Докажем первое свойство=== | ||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | Возьмем любой угол $A$ выпуклого многоугольника $P$ и его сторону $a$, идущую из вершины $A$. Пусть $l$ -- прямая, | ||
+ | ===Докажем второе свойство=== | ||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | Возьмем любые две точки $A$ и $B$ выпуклого многоугольника $P$. Многоугольник $P$ является пересечением нескольких полуплоскостей. Отрезок $AB$ содержится в каждой из этих полуплоскостей. Поэтому он содержится и в многоугольнике $P$. | ||
+ | |||
+ | =====Определение===== | ||
+ | **Диагональю многоугольника** называется отрезок, | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | =====Теорема (о количестве диагоналей n-угольника)===== | ||
+ | Количество диагоналей выпуклого $n$-угольника вычисляется по формуле $\dfrac{n(n-3)}{2}$. | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | Из каждой вершины n-угольника можно провести $n-3$ диагонали (нельзя провести диагональ в соседние вершины и в саму эту вершину). Если посчитать все такие возможные отрезки, | ||
+ | =====Теорема (о сумме углов n-угольника)===== | ||
+ | Сумма углов выпуклого $n$-угольника равна $180^\circ(n-2)$. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Рассмотрим $n$-угольник $A_1A_2A_3\ldots A_n$. | ||
+ | |||
+ | Возьмём внутри этого многоугольника произвольную точку $O$. | ||
+ | |||
+ | Сумма углов всех треугольников $A_1OA_2$, $A_2OA_3$, $A_3OA_4$, $\ldots$, $A_{n-1}OA_n$ | ||
+ | равна $180^\circ\cdot n$. | ||
+ | |||
+ | C другой стороны эта сумма складывается из суммы всех внутренних углов многоугольника и полного угла $\angle O=\angle 1+\angle 2+\angle 3+\ldots=360^\circ$. | ||
+ | |||
+ | Тогда сумма углов рассматриваемого $n$-угольника равна $180^\circ\cdot n-360^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$. | ||
+ | |||
+ | =====Теорема===== | ||
+ | Сумма углов невыпуклого $n$-угольника равна $180^\circ(n-2)$. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | (без доказательства) | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | =====Теорема (о сумме внешних углов выпуклого n-угольника)===== | ||
+ | Сумма внешних углов выпуклого $n$-угольника равна $360^\circ$. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Внешний угол при вершине $A_1$ равен $180^\circ-\angle A_1$. | ||
+ | |||
+ | Сумма всех внешних углов равна: | ||
+ | |||
+ | $\sum\limits_{n}(180^\circ-\angle A_n)=n\cdot180^\circ - | ||
+ | \sum\limits_{n}A_n=n\cdot180^\circ - 180^\circ\cdot(n-2)=360^\circ$. |
math-public/mnogougolniki.txt · Последнее изменение: 2022/01/14 17:49 — mesuslina