Президентский ФМЛ №239

Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно.
[[:math-public:parallelogramm|Назад]] --- [[:math-public:index|Оглавление]] --- [[:math-public:parallelogramm|Вперед]]

=======Многоугольники.=======


======Ломаная======
=====Определение=====
**Ломаной линией**, или короче, **ломаной**, называется конечная последовательность отрезков, такая, что один из концов первого отрезка служит концом второго, другой конец второго отрезка служит концом третьего и т.д. При этом соседние отрезки не лежат на одной прямой. Эти отрезки называют звеньями ломаной.

{{:math-public:200.jpg?direct&300|}}

=====Виды ломаной=====
  - Ломаная называется **замкнутой**, если начало первого отрезка совпадает с концом последнего.
  - Ломаная может пересекать сама себя, коснуться сама себя, налегать на себя. Если таких особенностей нет, то такая ломаная называется **простой**.

{{:math-public:201.jpg?direct&100|}}
{{:math-public:202.jpg?direct&100|}}
{{:math-public:203.jpg?direct&100|}}
{{:math-public:204.jpg?direct&100|}}

======Многоугольники======
=====Определение=====
Простая замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, ограниченной ею, называется **многоугольником**.

{{:math-public:205.jpg?direct&150|}}

=====Замечание=====
В каждой вершине многоугольника его стороны задают некоторый угол многоугольника. Он может быть как меньше развернутого, так и больше развернутого.

{{:math-public:206.jpg?direct&150|}}

=====Свойство=====
У каждого многоугольника есть угол, меньший $180^\circ$.
====Доказательство====
{{:math-public:207.jpg?direct&300|}}

Пусть дан многоугольник $P$.

Проведем какую-нибудь прямую, не пересекающую его. Будем перемещать ее параллельно в сторону многоугольника. В некоторый момент мы впервые получим прямую $a$, имеющую с многоугольником $P$ хотя бы одну общую точку. От этой прямой многоугольник лежит по одну сторону (при этом некоторые его точки лежат на прямой $a$).

На прямой $a$ лежит хотя бы одна вершина многоугольника. В ней сходится две его стороны, расположенные по одну сторону от прямой $a$ (считая и тот случай, когда одна из них лежит на этой прямой). А значит, при этой вершине угол меньше развернутого.

=====Определение=====
Многоугольник называется **выпуклым**, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону. Если многоугольник не является выпуклым, его называют **невыпуклым**.

{{:math-public:208.jpg?direct&150|}} {{:math-public:209.jpg?direct&150|}}

====Замечание====
Выпуклый многоугольник является пересечением полуплоскостей, ограниченных прямыми, которые содержат стороны многоугольника.

{{:math-public:210.jpg?direct&200|}}
=====Свойства выпуклого многоугольника=====
  - У выпуклого многоугольника все углы меньше $180^\circ$.
  - Отрезок, соединяющий любые две точки выпуклого многоугольника (в частности, любая его диагональ), содержится в этом многоугольнике.

====Доказательство====
===Докажем первое свойство===
{{:math-public:212.jpg?direct&150|}}

Возьмем любой угол $A$ выпуклого многоугольника $P$ и его сторону $a$, идущую из вершины $A$. Пусть $l$ -- прямая, содержащая сторону $a$. Так как многоугольник $P$ выпуклый, то он лежит по одну сторону от прямой $l$. Следовательно, и его угол $A$ лежит по одну сторону от этой прямой. Значит угол $A$ меньше развернутого угла, то есть меньше $180^\circ$.
===Докажем второе свойство===
{{:math-public:211.jpg?direct&150|}}

Возьмем любые две точки $A$ и $B$ выпуклого многоугольника $P$. Многоугольник $P$ является пересечением нескольких полуплоскостей. Отрезок $AB$ содержится в каждой из этих полуплоскостей. Поэтому он содержится и в многоугольнике $P$.

=====Определение=====
**Диагональю многоугольника** называется отрезок, соединяющий его несоседние вершины.

{{:math-public:213.jpg?direct&150|}}

=====Теорема (о количестве диагоналей n-угольника)=====
Количество диагоналей выпуклого $n$-угольника вычисляется по формуле $\dfrac{n(n-3)}{2}$.

====Доказательство====
{{:math-public:214.jpg?direct&150|}}

Из каждой вершины n-угольника можно провести $n-3$ диагонали (нельзя провести диагональ в соседние вершины и в саму эту вершину). Если посчитать все такие возможные отрезки, то их будет $n\cdot(n-3)$, так как вершин $n$. Но каждая диагональ будет посчитана дважды. Таким образом, количество диагоналей n-угольника равно $\dfrac{n(n-3)}{2}$.
=====Теорема (о сумме углов n-угольника)=====
Сумма углов выпуклого $n$-угольника равна $180^\circ(n-2)$.

{{:math-public:021.jpg?direct&300|}}

====Доказательство====
Рассмотрим $n$-угольник $A_1A_2A_3\ldots A_n$.

Возьмём внутри этого многоугольника произвольную точку $O$.

Сумма углов всех треугольников $A_1OA_2$, $A_2OA_3$, $A_3OA_4$, $\ldots$, $A_{n-1}OA_n$
равна $180^\circ\cdot n$.

C другой стороны эта сумма складывается из суммы всех внутренних углов многоугольника и полного угла $\angle O=\angle 1+\angle 2+\angle 3+\ldots=360^\circ$.

Тогда сумма углов рассматриваемого $n$-угольника равна $180^\circ\cdot n-360^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.

=====Теорема=====
Сумма углов невыпуклого $n$-угольника равна $180^\circ(n-2)$.

{{:math-public:021_1.jpg?direct&300|}}

(без доказательства)




=====Теорема (о сумме внешних углов выпуклого n-угольника)=====
Сумма внешних углов выпуклого $n$-угольника равна $360^\circ$.


{{:math-public:011.jpg?direct&300|}}

====Доказательство====
Внешний угол при вершине $A_1$ равен $180^\circ-\angle A_1$.

Сумма всех внешних углов равна:

$\sum\limits_{n}(180^\circ-\angle A_n)=n\cdot180^\circ -
\sum\limits_{n}A_n=n\cdot180^\circ - 180^\circ\cdot(n-2)=360^\circ$.