Инструменты пользователя

Инструменты сайта


math-public:mnogougolniki

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
math-public:mnogougolniki [2016/04/14 12:55]
labreslav
math-public:mnogougolniki [2017/04/06 20:32] (текущий)
labreslav
Строка 1: Строка 1:
 +[[:​math-public:​parallelogramm|Назад]] --- [[:​math-public:​index|Оглавление]] --- [[:​math-public:​parallelogramm|Вперед]]
  
 +=======Многоугольники.=======
 +
 +
 +======Ломаная======
 +=====Определение=====
 +**Ломаной линией**,​ или короче,​ **ломаной**,​ называется конечная последовательность отрезков,​ такая, что один из концов первого отрезка служит концом второго,​ другой конец второго отрезка служит концом третьего и т.д. При этом соседние отрезки не лежат на одной прямой. Эти отрезки называют звеньями ломаной.
 +
 +{{:​math-public:​200.jpg?​direct&​300|}}
 +
 +=====Виды ломаной=====
 +  - Ломаная называется **замкнутой**,​ если начало первого отрезка совпадает с концом последнего.
 +  - Ломаная может пересекать сама себя, коснуться сама себя, налегать на себя. Если таких особенностей нет, то такая ломаная называется **простой**.
 +
 +{{:​math-public:​201.jpg?​direct&​100|}}
 +{{:​math-public:​202.jpg?​direct&​100|}}
 +{{:​math-public:​203.jpg?​direct&​100|}}
 +{{:​math-public:​204.jpg?​direct&​100|}}
 +
 +======Многоугольники======
 +=====Определение=====
 +Простая замкнутая ломаная вместе с частью плоскости,​ ограниченной ею, называется **многоугольником**.
 +
 +{{:​math-public:​205.jpg?​direct&​150|}}
 +
 +=====Замечание=====
 +В каждой вершине многоугольника его стороны задают некоторый угол многоугольника. Он может быть как меньше развернутого,​ так и больше развернутого.
 +
 +{{:​math-public:​206.jpg?​direct&​150|}}
 +
 +=====Свойство=====
 +У каждого многоугольника есть угол, меньший $180^\circ$.
 +====Доказательство====
 +{{:​math-public:​207.jpg?​direct&​300|}}
 +
 +Пусть дан многоугольник $P$.
 +
 +Проведем какую-нибудь прямую,​ не пересекающую его. Будем перемещать ее параллельно в сторону многоугольника. В некоторый момент мы впервые получим прямую $a$, имеющую с многоугольником $P$ хотя бы одну общую точку. От этой прямой многоугольник лежит по одну сторону (при этом некоторые его точки лежат на прямой $a$).
 +
 +На прямой $a$ лежит хотя бы одна вершина многоугольника. В ней сходится две его стороны,​ расположенные по одну сторону от прямой $a$ (считая и тот случай,​ когда одна из них лежит на этой прямой). А значит,​ при этой вершине угол меньше развернутого.
 +
 +=====Определение=====
 +Многоугольник называется **выпуклым**,​ если он лежит по одну сторону от каждой прямой,​ содержащей его сторону. Если многоугольник не является выпуклым,​ его называют **невыпуклым**.
 +
 +{{:​math-public:​208.jpg?​direct&​150|}} {{:​math-public:​209.jpg?​direct&​150|}}
 +
 +====Замечание====
 +Выпуклый многоугольник является пересечением полуплоскостей,​ ограниченных прямыми,​ которые содержат стороны многоугольника.
 +
 +{{:​math-public:​210.jpg?​direct&​200|}}
 +=====Свойства выпуклого многоугольника=====
 +  - У выпуклого многоугольника все углы меньше $180^\circ$.
 +  - Отрезок,​ соединяющий любые две точки выпуклого многоугольника (в частности,​ любая его диагональ),​ содержится в этом многоугольнике.
 +
 +====Доказательство====
 +===Докажем первое свойство===
 +{{:​math-public:​212.jpg?​direct&​150|}}
 +
 +Возьмем любой угол $A$ выпуклого многоугольника $P$ и его сторону $a$, идущую из вершины $A$. Пусть $l$ -- прямая,​ содержащая сторону $a$. Так как многоугольник $P$ выпуклый,​ то он лежит по одну сторону от прямой $l$. Следовательно,​ и его угол $A$ лежит по одну сторону от этой прямой. Значит угол $A$ меньше развернутого угла, то есть меньше $180^\circ$.
 +===Докажем второе свойство===
 +{{:​math-public:​211.jpg?​direct&​150|}}
 +
 +Возьмем любые две точки $A$ и $B$ выпуклого многоугольника $P$. Многоугольник $P$ является пересечением нескольких полуплоскостей. Отрезок $AB$ содержится в каждой из этих полуплоскостей. Поэтому он содержится и в многоугольнике $P$.
 +
 +=====Определение=====
 +**Диагональю многоугольника** называется отрезок,​ соединяющий его несоседние вершины.
 +
 +{{:​math-public:​213.jpg?​direct&​150|}}
 +
 +=====Теорема (о количестве диагоналей n-угольника)=====
 +Количество диагоналей выпуклого $n$-угольника вычисляется по формуле $\dfrac{n(n-3)}{2}$.
 +
 +====Доказательство====
 +{{:​math-public:​214.jpg?​direct&​150|}}
 +
 +Из каждой вершины n-угольника можно провести $n-3$ диагонали (нельзя провести диагональ в соседние вершины и в саму эту вершину). Если посчитать все такие возможные отрезки,​ то их будет $n\cdot(n-3)$,​ так как вершин $n$. Но каждая диагональ будет посчитана дважды. Таким образом,​ количество диагоналей n-угольника равно $\dfrac{n(n-3)}{2}$.
 +=====Теорема (о сумме углов n-угольника)=====
 +Сумма углов выпуклого $n$-угольника равна $180^\circ(n-2)$.
 +
 +{{:​math-public:​021.jpg?​direct&​300|}}
 +
 +====Доказательство====
 +Рассмотрим $n$-угольник $A_1A_2A_3\ldots A_n$.
 +
 +Возьмём внутри этого многоугольника произвольную точку $O$.
 +
 +Сумма углов всех треугольников $A_1OA_2$, $A_2OA_3$, $A_3OA_4$, \ldots, $A_{n-1}OA_n$
 +равна $180^\circ\cdot n$.
 +
 +C другой стороны эта сумма складывается из суммы всех внутренних углов многоугольника и полного угла $\angle O=\angle 1+\angle 2+\angle 3+\ldots=30^\circ$.
 +
 +Тогда сумма углов рассматриваемого $n$-угольника равна $180^\circ\cdot n-360^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.
 +
 +=====Следствие=====
 +Сумма углов невыпуклого $n$-угольника равна $180^\circ(n-2)$.
 +
 +{{:​math-public:​021_1.jpg?​direct&​300|}}
 +
 +
 +====Доказательство====
 +Рассмотрим многоугольник $A_1A_2\ldots A_n$, у которого только угол $\angle A_2$ невыпуклый,​ то есть $\angle A_2>​180^\circ$.
 +
 +Обозначим сумму его улов $S$.
 +
 +Соединим точки $A_1A_3$ и рассмотрим многоугольник $A_1A_3\ldots A_n$.
 +
 +Сумма углов этого многоугольника равна:
 +
 +$180^\circ\cdot(n-1-2)=S-\angle A_2+\angle 1+\angle 2=S-\angle A_2+180^\circ-\angle A_1A_2A_3=S+180^\circ-(\angle A_1A_2A_3+\angle A_2)=S+180^\circ-360^\circ$.
 +
 +Следовательно,​ $S=180^\circ\cdot(n-1-2)+180^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.
 +
 +Если у исходного многоугольника более одного невыпуклого угла, то описанную
 +выше операцию можно проделать с каждым таким углом, что и приведет к доказываемому утверждению.
 +
 +=====Теорема (о сумме внешних углов выпуклого n-угольника)=====
 +Сумма внешних углов выпуклого $n$-угольника равна $360^\circ$.
 +
 +
 +{{:​math-public:​011.jpg?​direct&​300|}}
 +
 +====Доказательство====
 +Внешний угол при вершине $A_1$ равен $180^\circ-\angle A_1$.
 +
 +Сумма всех внешних углов равна:
 +
 +$\sum\limits_{n}(180^\circ-\angle A_n)=n\cdot180^\circ -
 +\sum\limits_{n}A_n=n\cdot180^\circ - 180^\circ\cdot(n-2)=360^\circ$.
math-public/mnogougolniki.txt · Последние изменения: 2017/04/06 20:32 — labreslav