Инструменты пользователя

Инструменты сайта


math-public:obobshchenaya_teorema_falesa

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

math-public:obobshchenaya_teorema_falesa [2016/04/07 21:44]
labreslav создано
math-public:obobshchenaya_teorema_falesa [2016/04/13 23:35] (текущий)
labreslav [Доказательство]
Строка 1: Строка 1:
 +=====Лемма=====
 +Пусть на сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $M$
 +и $N$ соответственно. Тогда
 +  - Если $BM:​MA=BN:​NC$,​ то  $MN\parallel AC$;
 +  - Если $MN\parallel AC$, то $BM:​MA=BN:​NC$;​
 +
 +{{:​math-public:​058.jpg?​direct&​200|}}
 +
 +====Доказательство====
 +===Докажем первый пункт леммы.===
 +Пусть $BM=a, MA=xa, BN=b, NC=xb$.\\
 +
 +Тогда $\dfrac{BM}{BA}=\dfrac{a}{a+ax}=\dfrac{1}{1+x}=\dfrac{b}{b+bx}=\dfrac{BN}{BC}$.\\
 +
 +Тогда треугольники $BMN$ и $ABC$ подобны по второму признаку подобия
 +треугольников,​ так как $\angle B$ -- общий.\\
 +
 +Следовательно,​ $\angle 1=\angle 2$,
 +а так как это соответственные углы при секущей $AB$, то $MN\parallel
 +AC$.\\
 +
 +===Докажем второй пункт теоремы.===
 +Так как $MN\parallel AC$, то $\angle 1=\angle 2$, а поскольку $\angle B$ -- общий, то
 +треугольники $BMN$ и $ABC$ подобны.\\
 +
 +Тогда $\dfrac{BM}{BA}=\dfrac{BN}{BC}$,​ откуда
 +$\dfrac{BM}{BM+MA}=\dfrac{1}{1+\dfrac{MA}{BM}}=\dfrac{1}{1+\dfrac{NC}{BN}}$.\\
 +
 +Следовательно,​ $\dfrac{MA}{BM}=\dfrac{NC}{BN}$.
 +
 +
 +=====Обобщенная теорема Фалеса======
 +Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки.
 +
 +{{:​math-public:​059a.jpg?​direct&​300|}}
 +{{:​math-public:​059b.jpg?​direct&​300|}}
 +
 +====Доказательство====
 +Пусть параллельные прямые $l_1, l_2, l_3$ пересекают прямые $a$ и
 +$b$ в точках $A_1, A_2, A_3$ и $B_1, B_2, B_3$ соответственно.\\
 +
 +Пусть при этом $A_1A_2:​A_2A_3=x$.\\
 +
 +Докажем,​ что тогда $B1B_2:​B_2B_3=x$.\\
 +
 +Рассмотрим случай,​ когда прямые $a$ и $b$ параллельны.\\
 +
 +Тогда $A_2A_1B_1B_2$ и $A_3A_2B_2B_3$ --
 +параллелограммы,​ следовательно,​ $A_1A_2=B_1B_2$ и $A_2A_3=B_2B_3$,​ и
 +так как $A_1A_2:​A_2A_3=B_1B_2:​B_2B_3=x$.\\
 +
 +Рассмотрим случай,​ когда прямые $a$ и $b$ не параллельны.\\
 +
 +Проведем через точку $B_1$ прямую $c$, параллельную прямой $a$.\\
 +
 +Пусть прямые $l_2,​l_3,​l_4$ и прямая $c$ пересекаются в точках $C_2,
 +C_3, C_4$.\\
 +
 +По первому случаю $B_1C_2:​C_2C_3=x$,​ кроме того $B_2C_2\parallel B_3C_3$.\\
 +
 +Тогда по второму пункту леммы $B_1C_2:​C_2C_3=B_1B_2:​B_2B_3=x$.
 +
 +
 +====Замечание====
 +Следующее утверждение неверно:​\\
 +пусть прямые $l_1, l_2, l_3$ пересекают прямые $a$ и $b$ в точках $A_1,​A_2,​A_3$ и
 +$B_1,​B_2,​B_3$ соответственно. Тогда из того, что
 +$A_1A_2:​A_2A_3=B_1B_2:​B_2B_3$ следует,​ что $l_1\parallel
 +l_2\parallel l_3$.
 +
 +{{:​math-public:​060.jpg?​direct&​300|}}
  
math-public/obobshchenaya_teorema_falesa.txt · Последние изменения: 2016/04/13 23:35 — labreslav