math-public:obobshchenaya_teorema_falesa
Различия
Показаны различия между двумя версиями страницы.
math-public:obobshchenaya_teorema_falesa [2016/04/07 21:44] – создано labreslav | math-public:obobshchenaya_teorema_falesa [2016/04/13 23:35] (текущий) – [Доказательство] labreslav | ||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | =====Лемма===== | ||
+ | Пусть на сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $M$ | ||
+ | и $N$ соответственно. Тогда | ||
+ | - Если $BM: | ||
+ | - Если $MN\parallel AC$, то $BM: | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | ===Докажем первый пункт леммы.=== | ||
+ | Пусть $BM=a, MA=xa, BN=b, NC=xb$.\\ | ||
+ | |||
+ | Тогда $\dfrac{BM}{BA}=\dfrac{a}{a+ax}=\dfrac{1}{1+x}=\dfrac{b}{b+bx}=\dfrac{BN}{BC}$.\\ | ||
+ | |||
+ | Тогда треугольники $BMN$ и $ABC$ подобны по второму признаку подобия | ||
+ | треугольников, | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | а так как это соответственные углы при секущей $AB$, то $MN\parallel | ||
+ | AC$.\\ | ||
+ | |||
+ | ===Докажем второй пункт теоремы.=== | ||
+ | Так как $MN\parallel AC$, то $\angle 1=\angle 2$, а поскольку $\angle B$ -- общий, то | ||
+ | треугольники $BMN$ и $ABC$ подобны.\\ | ||
+ | |||
+ | Тогда $\dfrac{BM}{BA}=\dfrac{BN}{BC}$, | ||
+ | $\dfrac{BM}{BM+MA}=\dfrac{1}{1+\dfrac{MA}{BM}}=\dfrac{1}{1+\dfrac{NC}{BN}}$.\\ | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | |||
+ | |||
+ | =====Обобщенная теорема Фалеса====== | ||
+ | Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Пусть параллельные прямые $l_1, l_2, l_3$ пересекают прямые $a$ и | ||
+ | $b$ в точках $A_1, A_2, A_3$ и $B_1, B_2, B_3$ соответственно.\\ | ||
+ | |||
+ | Пусть при этом $A_1A_2: | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Рассмотрим случай, | ||
+ | |||
+ | Тогда $A_2A_1B_1B_2$ и $A_3A_2B_2B_3$ -- | ||
+ | параллелограммы, | ||
+ | так как $A_1A_2: | ||
+ | |||
+ | Рассмотрим случай, | ||
+ | |||
+ | Проведем через точку $B_1$ прямую $c$, параллельную прямой $a$.\\ | ||
+ | |||
+ | Пусть прямые $l_2, | ||
+ | C_3, C_4$.\\ | ||
+ | |||
+ | По первому случаю $B_1C_2: | ||
+ | |||
+ | Тогда по второму пункту леммы $B_1C_2: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ====Замечание==== | ||
+ | Следующее утверждение неверно: | ||
+ | пусть прямые $l_1, l_2, l_3$ пересекают прямые $a$ и $b$ в точках $A_1, | ||
+ | $B_1, | ||
+ | $A_1A_2: | ||
+ | l_2\parallel l_3$. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
math-public/obobshchenaya_teorema_falesa.txt · Последнее изменение: 2016/04/13 23:35 — labreslav