math-public:obobshchennaya_teorema_sinusov
Различия
Показаны различия между двумя версиями страницы.
math-public:obobshchennaya_teorema_sinusov [2016/04/08 18:53] – создано labreslav | math-public:obobshchennaya_teorema_sinusov [2017/02/12 08:55] (текущий) – [Доказательство] labreslav | ||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | =====Обобщенная теорема синусов===== | ||
+ | В треугольнике со сторонами $a,b,c$, углами $\alpha, | ||
+ | радиусом описанной окружности $R$ выполняется соотношение | ||
+ | $2R=\dfrac{a}{\sin{\alpha}}=\dfrac{b}{\sin{\beta}}=\dfrac{c}{\sin{\gamma}}$. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | {{: | ||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Рассмотрим треугольник $ABC$, около которого описана окружность с | ||
+ | центром $O$ и радиусом $R$. | ||
+ | |||
+ | Обозначим $a=BC, \alpha=\angle A$. | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Возможны три случая: | ||
+ | тупой. | ||
+ | |||
+ | ===Рассмотрим первый случай.=== | ||
+ | Пусть угол $A$ прямой. | ||
+ | |||
+ | Так как вписанный угол равный $90^\circ$ опирается на диаметр, | ||
+ | |||
+ | Но так как $\sin{A}=\sin{90^\circ}=1$, | ||
+ | |||
+ | ===Рассмотрим второй случай.=== | ||
+ | Пусть угол $\angle A$ -- острый. | ||
+ | |||
+ | Проведем диаметр $BD$ и рассмотрим треугольник $\triangle DBC$. | ||
+ | |||
+ | Так как углы $\angle A$ и $\angle D$ опираются на одну и туже дугу $\buildrel\, | ||
+ | |||
+ | Кроме того, угол $\angle BCD$ опирается на диаметр, | ||
+ | |||
+ | Тогда из прямоугольного треугольника $\triangle BCD$ $\sin{D}=\dfrac{BC}{2R}$ или $2R=\dfrac{BC}{\sin{A}}$. | ||
+ | |||
+ | ===Рассмотрим третий случай.=== | ||
+ | Пусть угол $\angle A$ -- тупой. | ||
+ | |||
+ | Проведем диаметр $BD$ и рассмотрим треугольник $\triangle DBC$. | ||
+ | |||
+ | Так как угол $\angle A$ опирается на дугу $\buildrel\, | ||
+ | |||
+ | Кроме того, угол $\angle BCD$ опирается на диаметр, | ||
+ | BCD=90^\circ$. | ||
+ | |||
+ | Тогда из прямоугольного треугольника $\triangle BCD$ получим $\sin{D}=\dfrac{BC}{2R}=\sin{(180^\circ-\angle A)}=\sin{A}$ или $2R=\dfrac{BC}{\sin{A}}$. | ||
math-public/obobshchennaya_teorema_sinusov.txt · Последнее изменение: 2017/02/12 08:55 — labreslav