Инструменты пользователя

Инструменты сайта


math-public:obobshchennaya_teorema_sinusov

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

math-public:obobshchennaya_teorema_sinusov [2016/04/08 18:53]
labreslav создано
math-public:obobshchennaya_teorema_sinusov [2017/02/12 08:55] (текущий)
labreslav [Доказательство]
Строка 1: Строка 1:
 +=====Обобщенная теорема синусов=====
 +В треугольнике со сторонами $a,b,c$, углами $\alpha,​\beta,​\gamma$ и
 +радиусом описанной окружности $R$ выполняется соотношение
 +$2R=\dfrac{a}{\sin{\alpha}}=\dfrac{b}{\sin{\beta}}=\dfrac{c}{\sin{\gamma}}$.
 +
 +{{:​math-public:​098a.jpg?​direct&​150|}}
 +{{:​math-public:​098b.jpg?​direct&​150|}}
 +{{:​math-public:​098c.jpg?​direct&​150|}}
 +
 +====Доказательство====
 +Рассмотрим треугольник $ABC$, около которого описана окружность с
 +центром $O$ и радиусом $R$.
 +
 +Обозначим $a=BC, \alpha=\angle A$.
 +
 +Докажем,​ что $\dfrac{BC}{\sin{\angle A}}=2R$ или $2R=\dfrac{a}{\sin{\alpha}}$.
 +
 +Возможны три случая:​ когда угол $\angle \alpha$ прямой,​ острый или
 +тупой.
 +
 +===Рассмотрим первый случай.===
 +Пусть угол $A$ прямой.
 +
 +Так как вписанный угол равный $90^\circ$ опирается на диаметр,​ то $BC=2R$.
 +
 +Но так как $\sin{A}=\sin{90^\circ}=1$,​ то $BC=2R\cdot 1=BC\sin{\alpha}$.
 +
 +===Рассмотрим второй случай.===
 +Пусть угол $\angle A$ -- острый.
 +
 +Проведем диаметр $BD$ и рассмотрим треугольник $\triangle DBC$.
 +
 +Так как углы $\angle A$ и $\angle D$ опираются на одну и туже дугу $\buildrel\,​\,​\frown\over{BC}$,​ то $\angle A=\angle D$.
 +
 +Кроме того, угол $\angle BCD$ опирается на диаметр,​ следовательно,​ $\angle BCD=90^\circ$.
 +
 +Тогда из прямоугольного треугольника $\triangle BCD$ $\sin{D}=\dfrac{BC}{2R}$ или $2R=\dfrac{BC}{\sin{A}}$.
 +
 +===Рассмотрим третий случай.===
 +Пусть угол $\angle A$ -- тупой.
 +
 +Проведем диаметр $BD$ и рассмотрим треугольник $\triangle DBC$.
 +
 +Так как угол $\angle A$ опирается на дугу $\buildrel\,​\,​\frown\over{BDC}$,​ а угол $\angle D$ опирается на дугу $\buildrel\,​\,​\frown\over{BAC}$,​ то $\angle D=180^\circ-\angle A$.
 +
 +Кроме того, угол $\angle BCD$ опирается на диаметр,​ следовательно,​ $\angle
 +BCD=90^\circ$.
 +
 +Тогда из прямоугольного треугольника $\triangle BCD$ получим $\sin{D}=\dfrac{BC}{2R}=\sin{(180^\circ-\angle A)}=\sin{A}$ или $2R=\dfrac{BC}{\sin{A}}$.
  
math-public/obobshchennaya_teorema_sinusov.txt · Последние изменения: 2017/02/12 08:55 — labreslav