Общее уравнение прямой
$ax+by+c=0$.
Доказательство
Раскроем скобки в правой части уравнения прямой по нормали и точке: $a(x-x_0)+b(y-y_0)=ax-ax_0+by-by_0=ax+by+(-ax_0+by_0)$.
Таким образом уравнение прямой можно записать в виде $ax+by+(-ax_0-by_0)=0$.
Обозначив $c=-ax_0-by_0$, получим уравнение $ax+by+c=0$, где $(a;b)$ – нормаль к данной прямой.
Теорема
Каждое линейное уравнение в прямоугольной системе координат задает на плоскости прямую.
Доказательство
Пусть на плоскости введены прямоугольные координаты $x, y$ и задано линейное уравнение $ax+by+c=0$.
Покажем, что это уравнение задаёт прямую.
Если $b=0$, то $a\neq0$ (иначе уравнение не будет линейным).
Тогда данное уравнение можно записать так: $x=-\frac{c}{a}$.
Это уравнение прямой, перпендикулярной оси $Ox$.
Пусть теперь $b\neq0$.
Построим прямую, перпендикулярную вектору $\vec{n}(a;b)$, проходящую через точку $(0; -\frac{c}{b})$.
Очевидно, эта прямая задаётся уравнением $ax+by+c=0$.