math-public:okruzhnost
Различия
Показаны различия между двумя версиями страницы.
Предыдущая версия справа и слеваПредыдущая версияСледующая версия | Предыдущая версияСледующая версияСледующая версия справа и слева | ||
math-public:okruzhnost [2016/05/11 13:48] – [Теорема] labreslav | math-public:okruzhnost [2021/01/05 22:47] – labreslav | ||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | ====== Окружность ====== | ||
+ | |||
+ | 1. Окружность – это геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки. | ||
+ | |||
+ | 2. Геометрическое место точек, удаленных от заданной точки $O$ на заданное расстояние $R$, называют окружностью с центром в точке $O$ и радиусом $R$. | ||
+ | |||
+ | Обозначают такую окружность так: $\omega(O; | ||
+ | |||
+ | ====== Касательные и хорды ====== | ||
+ | |||
+ | ===== Теорема ===== | ||
+ | |||
+ | Если $d$ – это расстояние от точки $O$ до прямой $l$, а $\omega$ – окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$, тогда | ||
+ | |||
+ | - если $d>R$, то прямая не пересекает окружность; | ||
+ | - если $d=R$, то прямая является касательной к окружности; | ||
+ | - если $d | ||
+ | |||
+ | [[http:// | ||
+ | |||
+ | ==== Доказательство ==== | ||
+ | |||
+ | === Первый случай === | ||
+ | |||
+ | Пусть $d | ||
+ | |||
+ | На прямой $p$ от точки $H$ отложим два отрезка $HA$ и $HB$, длины которых равны $\sqrt{r^2-d^2}$. | ||
+ | |||
+ | По теореме Пифагора $OA=OB=\sqrt{OH^2+HA^2}=\sqrt{d^2+(r^2-d^2)}=r$. | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Предположим, | ||
+ | |||
+ | Тогда медиана $OD$ равнобедренного треугольника $OAC$, проведенная к основанию $AC$, является высотой этого треугольника, | ||
+ | |||
+ | Отрезки $OD$ и $OH$ не совпадают, | ||
+ | |||
+ | Получается, | ||
+ | |||
+ | === Второй случай === | ||
+ | |||
+ | Пусть $d=r$. | ||
+ | |||
+ | В этом случае $OH=r$, то есть точка $H$ лежит на окружности и, значит, | ||
+ | |||
+ | Прямая $p$ и окружность не имеют других общих точек, так как для любой точки $M$ прямой $p$, отличной от точки $H$, $OM> | ||
+ | |||
+ | === Третий случай === | ||
+ | |||
+ | Пусть $d>r$. | ||
+ | |||
+ | В этом случае $OH>r$, поэтому для любой точки $M$ прямой $p$ $OM\geqslant OH>r$. | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | |||
+ | ===== Определение ===== | ||
+ | |||
+ | - Прямая, | ||
+ | - Прямая, | ||
+ | |||
+ | ===== Определение ===== | ||
+ | |||
+ | Касательная к кривой – это предельное положение секущей. | ||
+ | |||
+ | ===== Теорема о характерном свойстве касательной ===== | ||
+ | |||
+ | - (Свойство касательной): | ||
+ | - (Признак касательной): | ||
+ | |||
+ | [[http:// | ||
+ | |||
+ | ==== Доказательство ==== | ||
+ | |||
+ | === Докажем первый пункт теоремы. === | ||
+ | |||
+ | Пусть $p$ – касательная к окружности с центром $O$, $A$ – точка касания. | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Предположим, | ||
+ | |||
+ | Тогда радиус $OA$ является наклонной к прямой $p$. | ||
+ | |||
+ | Так как перпендикуляр, | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | |||
+ | Но это противоречит условию, | ||
+ | |||
+ | Таким образом $p\perp OA$. | ||
+ | |||
+ | === Докажем второй пункт теоремы. === | ||
+ | |||
+ | Из условия следует, | ||
+ | |||
+ | Поэтому расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, | ||
+ | |||
+ | Но это и означает, | ||
+ | |||
+ | ===== Теорема ===== | ||
+ | |||
+ | - Центр окружности, | ||
+ | - Если прямые, | ||
+ | - Если прямые, | ||
+ | |||
+ | [[http:// | ||
+ | |||
+ | ==== Доказательство ==== | ||
+ | |||
+ | Рассмотрим окружность с центром в точке $O$, вписанную в угол $M$. | ||
+ | |||
+ | Пусть данная окружность касается сторон угла в точках $A$ и $B$. | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Действительно, | ||
+ | |||
+ | Тогда $\angle AMO=\angle BMO$ и $MA=MB$. | ||
+ | |||
+ | Кроме того, так как треугольник $\triangle MAB$ равнобедренный, | ||
+ | |||
+ | ===== Свойства хорд окружности ===== | ||
+ | |||
+ | - Диаметр перпендикулярен хорде, тогда и только тогда, когда он проходит через ее середину. | ||
+ | - Хорды одной окружности равны тогда и только тогда, когда они равноудалены от ее центра. | ||
+ | - Хорды одной окружности равны тогда и только тогда, когда они стягивают равные центральные углы. | ||
+ | |||
+ | [[http:// | ||
+ | |||
+ | ==== Доказательство ==== | ||
+ | |||
+ | === Докажем первый пункт теоремы. === | ||
+ | |||
+ | Рассмотрим окружность с центром $O$, в которой хорда $AB$ пересекает диаметр $CD$ в точке $E$. | ||
+ | |||
+ | Если $E$ – это середина $AB$, то $OE$ – это медиана равнобедренного треугольника $AOB$, а, следовательно, | ||
+ | |||
+ | Обратно, | ||
+ | |||
+ | === Докажем второй пункт теоремы. === | ||
+ | |||
+ | Рассмотрим окружность с центром $O$, в которой проведены хорды $AB$ и $CD$. | ||
+ | |||
+ | Пусть расстояния $OE$ и $OF$ до этих хорд равны. | ||
+ | |||
+ | Тогда треугольники $OAE, OEB, OFD$ и $OFC$ равны по катету и гипотенузе ($OA=OB=OD=OC$, | ||
+ | |||
+ | Тогда $AE=EB=DF=FC$, | ||
+ | |||
+ | === Докажем третий пункт теоремы. === | ||
+ | |||
+ | Рассмотрим окружность с центром $O$, в которой проведены хорды $AB$ и $CD$. | ||
+ | |||
+ | Если $\angle AOB=\angle COD$, то $\triangle AOB=\triangle COD$ по первому признаку равенства ($CO=OB=OD=OA$, | ||
+ | |||
+ | Обратно, | ||
+ | |||
+ | ====== Две окружности ====== | ||
+ | |||
+ | ===== Теорема ===== | ||
+ | |||
+ | - Точка касания двух окружностей лежит на прямой, | ||
+ | - Центры двух пересекающихся окружностей лежат на серединном перпендикуляре к их общей хорде. | ||
+ | |||
+ | ===== Теорема о взаимном расположении двух окружностей ===== | ||
+ | |||
+ | - Если $R+r | ||
+ | - Если $R+r=d$, то окружности касаются внешним образом. | ||
+ | - Если $R-r | ||
+ | - Если $R-r=d$, то окружности касаются внешним образом. | ||
+ | - Если $R-r>d$, то окружности не пересекаются, | ||
+ | |||
math-public/okruzhnost.txt · Последнее изменение: 2021/01/27 00:17 — labreslav