Окружность

1. Окружность – это геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.

2. Геометрическое место точек, удаленных от заданной точки на заданное расстояние , называют окружностью с центром в точке и радиусом .

Обозначают такую окружность так: .

Касательные и хорды

Теорема

Если – это расстояние от точки до прямой , а – окружность с центром в точке и радиусом , тогда

если , то прямая не пересекает окружность;

если , то прямая является касательной к окружности;

если , то прямая пересекает окружность в двух точках.

078c.jpg

Доказательство

Первый случай

Пусть $d

На прямой от точки отложим два отрезка и , длины которых равны .

По теореме Пифагора .

Следовательно, точки и лежат на окружности и, значит, являются общими точками прямой и данной окружности.

Докажем, что прямая и данная окружность не имеют других общих точек.

Предположим, что они имеют ещё одну общую точку .

Тогда медиана равнобедренного треугольника , проведенная к основанию , является высотой этого треугольника, поэтому .

Отрезки и не совпадают, так как середина отрезка не совпадает с точкой – серединой отрезка .

Получается, что из точки проведены два перпендикуляра: отрезки и – к прямой , что невозможно.

Второй случай

Пусть .

В этом случае , то есть точка лежит на окружности и, значит, является общей точкой прямой и окружности.

Прямая и окружность не имеют других общих точек, так как для любой точки прямой , отличной от точки , (наклонная больше перпендикуляра ), и, следовательно, точка не лежит на окружности.

Третий случай

Пусть .

В этом случае , поэтому для любой точки прямой .

Следовательно, точка не лежит на окружности.

Определение

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к этой окружности.

Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется секущей к данной окружностью.

Определение

Касательная к кривой – это предельное положение секущей.

Теорема о характерном свойстве касательной

(Свойство касательной): касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

(Признак касательной): если прямая, проходящая через точку окружности, перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку, то она является касательной.

083.jpg

Доказательство

Докажем первый пункт теоремы.

Пусть – касательная к окружности с центром , – точка касания.

Докажем, что .

Предположим, что это не так.

Тогда радиус является наклонной к прямой .

Так как перпендикуляр, проведенный из точки к прямой , меньше наклонной , то расстояние от от точки до прямой меньше радиуса.

Следовательно, прямая и окружность имеют две общие точки.

Но это противоречит условию, так как – это касательная.

Таким образом .

Докажем второй пункт теоремы.

Из условия следует, что данный радиус является перпендикуляром, проведенным из центра окружности к данной прямой.

Поэтому расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, и, следовательно, прямая и окружность имеют только одну общую точку.

Но это и означает, что данная прямая является касательной к окружности.

Теорема

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Если прямые, проходящие через точку , касаются окружности в точках и , то .

Если прямые, проходящие через точку , касаются окружности в точках и , и пересекает в точке , то и

083.jpg

Доказательство

Рассмотрим окружность с центром в точке , вписанную в угол .

Пусть данная окружность касается сторон угла в точках и .

Докажем, что .

Действительно, треугольники и равны, по катету и гипотенузе (, – общая).

Тогда и .

Кроме того, так как треугольник равнобедренный, а – не только биссектриса угла , но и медиана и высота, то есть .

Свойства хорд окружности

Диаметр перпендикулярен хорде, тогда и только тогда, когда он проходит через ее середину.

Хорды одной окружности равны тогда и только тогда, когда они равноудалены от ее центра.

Хорды одной окружности равны тогда и только тогда, когда они стягивают равные центральные углы.

079a.jpg 079b.jpg 079c.jpg

Доказательство

Докажем первый пункт теоремы.

Рассмотрим окружность с центром , в которой хорда пересекает диаметр в точке .

Если – это середина , то – это медиана равнобедренного треугольника , а, следовательно, и – высота.

Обратно, если - высота, то и медиана.

Докажем второй пункт теоремы.

Рассмотрим окружность с центром , в которой проведены хорды и .

Пусть расстояния и до этих хорд равны.

Тогда треугольники и равны по катету и гипотенузе (, так как это радиусы).

Тогда , и, следовательно, .

Докажем третий пункт теоремы.

Рассмотрим окружность с центром , в которой проведены хорды и .

Если , то по первому признаку равенства (, так как это радиусы), следовательно, .

Обратно, если , то по третьему признаку равенства, следовательно, .

Две окружности

Теорема

Точка касания двух окружностей лежит на прямой, соединяющей их центры.

Центры двух пересекающихся окружностей лежат на серединном перпендикуляре к их общей хорде.

Теорема о взаимном расположении двух окружностей

Если $R+r

Если , то окружности касаются внешним образом.

Если $R-r

Если , то окружности касаются внешним образом.

Если , то окружности не пересекаются, и одна окружность лежит внутри другой.