Инструменты пользователя

Инструменты сайта


math-public:okruzhnost

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
math-public:okruzhnost [2016/05/11 13:48]
labreslav [Теорема]
math-public:okruzhnost [2016/05/11 13:49] (текущий)
labreslav [Теорема]
Строка 1: Строка 1:
 +=======Окружность=======
 +1. Окружность -- это геометрическое место точек, равноудаленных от
 +данной точки. ​
 +
 +2. Геометрическое место точек, удаленных от заданной точки $O$ на заданное расстояние $R$, называют окружностью с центром в точке $O$ и радиусом $R$.
 +
 +Обозначают такую окружность так: $\omega(O;​R)$.
 +======Касательные и хорды======
 +=====Теорема=====
 +Если $d$ -- это расстояние от точки $O$ до прямой $l$, а $\omega$ --
 +окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$, тогда
 +  - если $d>R$, то прямая не пересекает окружность;​
 +  - если $d=R$, то прямая является касательной к окружности;​
 +  - если $d<R$, то прямая пересекает окружность в двух точках.
 +
 +{{:​math-public:​078a.jpg?​direct&​150|}}{{:​math-public:​078b.jpg?​direct&​150|}}{{:​math-public:​078c.jpg?​direct&​150|}}
 +
 +====Доказательство====
 +===Первый случай===
 +Пусть $d<r$.
 +
 +На прямой $p$ от точки $H$ отложим два отрезка $HA$ и $HB$, длины которых равны
 +$\sqrt{r^2-d^2}$.
 +
 +По теореме Пифагора $OA=OB=\sqrt{OH^2+HA^2}=\sqrt{d^2+(r^2-d^2)}=r$.
 +
 +Следовательно,​ точки $A$ и $B$ лежат на окружности и, значит,​ являются общими
 +точками прямой $p$ и данной окружности.
 +
 +Докажем,​ что прямая $p$ и данная окружность не имеют других общих точек.
 +
 +Предположим,​ что они имеют ещё одну общую точку $C$.
 +
 +Тогда медиана $OD$ равнобедренного треугольника $OAC$, проведенная к основанию $AC$,
 +является высотой этого треугольника,​ поэтому $OD\perp p$.
 +
 +Отрезки $OD$ и $OH$ не совпадают,​ так как середина $D$ отрезка $AC$ не
 +совпадает с точкой $H$ -- серединой отрезка $AB$.
 +
 +Получается,​ что из точки $O$ проведены два перпендикуляра:​ отрезки $OH$ и $OD$ -- к
 +прямой $p$, что невозможно.
 +
 +===Второй случай===
 +Пусть $d=r$.
 +
 +В этом случае $OH=r$, то есть точка $H$ лежит на окружности и, значит,​ является общей точкой прямой и окружности.
 +
 +Прямая $p$ и окружность не имеют других общих точек, так как для любой точки $M$ прямой $p$,
 +отличной от точки $H$, $OM>​OH=r$ (наклонная $OM$ больше
 +перпендикуляра $OH$), и, следовательно,​ точка $M$ не лежит на
 +окружности.
 +
 +===Третий случай===
 +Пусть $d>r$.
 +
 +В этом случае $OH>r$, поэтому для любой точки $M$ прямой $p$ $OM\geqslant OH>​r$. ​
 +
 +Следовательно,​ точка $M$ не лежит на окружности.
 +
 +=====Определение=====
 +  - Прямая,​ имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к этой окружности.
 +  - Прямая,​ имеющая с окружностью две общие точки, называется секущей к данной окружностью.
 +
 +=====Определение=====
 +Касательная к кривой -- это предельное положение секущей.
 +
 +=====Теорема о характерном свойстве касательной=====
 +  - (Свойство касательной):​ касательная к окружности перпендикулярна радиусу,​ проведенному в точку касания.
 +  - (Признак касательной):​ если прямая,​ проходящая через точку окружности,​ перпендикулярна радиусу,​ проведенному в эту точку, то   ​она является касательной.
 +
 +{{:​math-public:​083.jpg?​direct&​300|}}
 +
 +
 +====Доказательство====
 +===Докажем первый пункт теоремы.===
 +Пусть $p$ -- касательная к окружности с центром $O$, $A$ -- точка касания.
 +
 +Докажем,​ что $p\perp OA$.
 +
 +Предположим,​ что это не так.
 +
 +Тогда радиус $OA$ является наклонной к прямой $p$.
 +
 +Так как перпендикуляр,​ проведенный из точки $O$ к прямой $p$, меньше наклонной $OA$, то
 +расстояние от от точки $O$ до прямой $p$ меньше радиуса.
 +
 +Следовательно,​ прямая $p$ и окружность имеют две общие точки.
 +
 +Но это противоречит условию,​ так как $p$ -- это касательная.
 +
 +Таким образом $p\perp OA$.
 +
 +===Докажем второй пункт теоремы.===
 +
 +Из условия следует,​ что ​ данный радиус является перпендикуляром,​ проведенным из центра окружности к данной прямой.
 +
 +Поэтому расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу,​ и, следовательно,​ прямая и окружность имеют только одну общую точку.
 +
 +Но это и означает,​ что данная прямая является касательной к окружности.
 +
 +=====Теорема=====
 +  - Центр окружности,​ вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.
 +  - Если прямые,​ проходящие через точку $M$, касаются окружности в точках $A$ и $B$, то $MA=MB$.
 +  - Если прямые,​ проходящие через точку $M$, касаются окружности в точках $A$ и $B$, и $AB$ пересекает $MO$  в точке $H$, то $AB\perp MO$ и $AH=HB$
 +
 +{{:​math-public:​083.jpg?​direct&​300|}}
 +====Доказательство====
 +Рассмотрим окружность с центром в точке $O$, вписанную в угол $M$.
 +
 +Пусть данная окружность касается сторон угла в точках $A$ и $B$.
 +
 +Докажем,​ что $\angle AMO=\angle BMO$.
 +
 +Действительно,​ треугольники $AMO$ и $BMO$ равны, по катету и
 +гипотенузе ($OA=OB$, $OM$ -- общая).
 +
 +Тогда $\angle AMO=\angle BMO$ и $MA=MB$.
 +
 +Кроме того, так как треугольник $\triangle MAB$ равнобедренный,​ а $MH$ -- не только биссектриса угла $\angle AMB$, но и медиана и высота,​ то есть $AH=HB, AB\perp MO$.
 +
 +=====Свойства хорд окружности=====
 +
 +  - Диаметр перпендикулярен хорде, тогда и только тогда, когда он проходит через ее середину.
 +  - Хорды одной окружности равны тогда и только тогда, когда они равноудалены от ее центра.
 +  - Хорды одной окружности равны тогда и только тогда, когда они стягивают равные центральные углы.
 +
 +{{:​math-public:​079a.jpg?​direct&​150|}}
 +{{:​math-public:​079b.jpg?​direct&​150|}}
 +{{:​math-public:​079c.jpg?​direct&​150|}}
 +
 +====Доказательство===
 +===Докажем первый пункт теоремы.===
 +
 +Рассмотрим окружность с центром $O$, в которой хорда $AB$ пересекает диаметр $CD$ в точке $E$.
 +
 +Если $E$ -- это середина $AB$, то $OE$ -- это медиана равнобедренного треугольника $AOB$, а, следовательно,​ и $OE$ -- высота.
 +
 +Обратно,​ если $OE$ - высота,​ то и медиана.
 +
 +===Докажем второй пункт теоремы.===
 +
 +Рассмотрим окружность с центром $O$, в которой проведены хорды $AB$ и $CD$.
 +
 +Пусть расстояния $OE$ и $OF$ до этих хорд равны.
 +
 +Тогда треугольники $OAE, OEB, OFD$ и $OFC$ равны по катету и гипотенузе ($OA=OB=OD=OC$,​ так как это радиусы).
 +
 +Тогда $AE=EB=DF=FC$,​ и, следовательно,​ $AB=2AE=2DF=CD$.
 +
 +===Докажем третий пункт теоремы.===
 +
 +Рассмотрим окружность с центром $O$, в которой проведены хорды $AB$ и $CD$.
 +
 +Если $\angle AOB=\angle COD$, то $\triangle AOB=\triangle COD$ по первому признаку равенства ($CO=OB=OD=OA$,​ так как это радиусы),​ следовательно,​ $AB=CD$.
 +
 +Обратно,​ если $AB=CD$, то $\triangle AOB=\triangle COD$ по третьему признаку равенства,​ следовательно,​ $\angle AOB=\angle COD$.
 +
 +
 +======Две окружности======
 +=====Теорема=====
 +  - Точка касания двух окружностей лежит на прямой,​ соединяющей их центры.
 +  - Центры двух пересекающихся окружностей лежат на серединном перпендикуляре к их общей хорде.
 +
 +=====Теорема о взаимном расположении двух окружностей=====
 +  - Если $R+r<d$, то окружности не пересекаются,​ и одна лежит вне другой.
 +  - Если $R+r=d$, то окружности касаются внешним образом.
 +  - Если $R-r<​d<​R+r$,​ то окружности пересекаются.
 +  - Если $R-r=d$, то окружности касаются внешним образом.
 +  - Если $R-r>d$, то окружности не пересекаются,​ и одна окружность лежит внутри другой.
  
math-public/okruzhnost.txt · Последние изменения: 2016/05/11 13:49 — labreslav