math-public:okruzhnost_vpisannaya_v_chetyrekhugolnik
Различия
Показаны различия между двумя версиями страницы.
math-public:okruzhnost_vpisannaya_v_chetyrekhugolnik [2016/04/08 18:23] – создано labreslav | math-public:okruzhnost_vpisannaya_v_chetyrekhugolnik [2016/04/08 18:23] (текущий) – labreslav | ||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | =====Теорема===== | ||
+ | В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только | ||
+ | тогда, когда суммы его противоположных сторон равны. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | {{: | ||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Рассмотрим произвольный четырехугольник $ABCD$, в который вписана окружность. | ||
+ | |||
+ | Вспомним, | ||
+ | |||
+ | Обозначим равные отрезки буквами $a, b, c$ и $d$. | ||
+ | |||
+ | Тогда $AD+BC=a+d+b+c=AB+CD$. | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | него можно вписать окружность. | ||
+ | |||
+ | Пусть в выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ выполнено равенство $AB+CD=BC+AD$. | ||
+ | |||
+ | Точка $O$ пересечения биссектрис углов $A$ и $B$ равноудалена от сторон $AD, AB$ и $BC$, поэтому можно провести окружность с центром $O$, касающуюся указанных трёх сторон. | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Предположим, | ||
+ | |||
+ | Тогда прямая $CD$ либо не имеет общих точек с окружностью, | ||
+ | |||
+ | ===Рассмотрим первый случай.=== | ||
+ | |||
+ | Проведем касательную $C' | ||
+ | касательной со сторонами $BC$ и $AD$). | ||
+ | |||
+ | Так как $ABC' | ||
+ | |||
+ | Таким образом $C' | ||
+ | |||
+ | Но этого не может быть, и, значит, | ||
+ | |||
+ | ===Рассмотрим второй случай.=== | ||
+ | Предположим, | ||
+ | |||
+ | Проведем касательную $C' | ||
+ | |||
+ | Так как $ABC' | ||
+ | |||
+ | Но $BC' | ||
+ | |||
+ | Тогда $AB+C' | ||
+ | |||
+ | Вычитая это равенство из равенства $AB+CD=BC+AD$ получим $AB+CD-AB-C' | ||
+ | |||
+ | То есть в четырёхугольнике $C' | ||
+ | сторон. | ||
+ | |||
+ | Но этого не может быть, и, значит, | ||
+ | |||
+ | =====Следствие===== | ||
+ | В любой ромб можно вписать окружность. | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Так как у ромба все стороны равны, то и суммы противоположных сторон | ||
+ | равны, и, следовательно, | ||
math-public/okruzhnost_vpisannaya_v_chetyrekhugolnik.txt · Последнее изменение: 2016/04/08 18:23 — labreslav