no way to compare when less than two revisions

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+=====Общее определение=====
+  - Косинус острого угла равен отношению проекции к наклонной.
+  - Косинус тупого угла равен косинусу смежного с ним угла, взятого с другим знаком.
+  - Косинус прямого угла равен нулю.
+  - Косинус развернутого угла равен минус единице.
+=====Корректность определения косинуса=====
+Значение косинуса угла не зависит от того, какую длину наклонной выбрать.
+====Доказательство=====
+===Первый способ.===
+Следует из корректности определения синуса и теоремы Пифагора.
+===Второй способ.===
+Следует из подобия треугольников.
+=====Свойства косинуса=====
+  - Косинус любого угла не больше $1$ и не меньше $-1$.
+  - $\cos{(180^\circ-\alpha)}=-\cos{\alpha}$.
+  - При возрастании угла от $0^\circ$ до $180^\circ$ косинус убывает от 1 до -1.
+  - Косинус однозначно определяет угол.
+{{:math-public:070a.jpg?direct&300|}} {{:math-public:070b.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+===Докажем первый пункт теоремы.===
+Первое свойство следует из того, что проекция меньше наклонной.
+===Докажем второй пункт теоремы.===
+Второе свойство следует из того, что углы $180^\circ-\alpha$ и
+$\alpha$ являются смежными.
+===Докажем третий пункт теоремы.===
+Рассмотрим окружность единичного радиуса с центром в точке $A$ и диаметром $DE$.
+Пусть на прямой $DE$ задана числовая ось с началом в точке $A$ и единичным отрезком $AE$.
+Проведем радиус $AB$ и получим угол $\a BAE$ некоторой величины $\alpha$.
+Пусть точка $C$ является проекцией точки $B$ на прямую $DE$.
+Тогда $\cos{\alpha}=AC$ при $\alpha\leqslant 90^\circ$ и $\cos{\alpha}=-AC$ при $\alpha>90^\circ$.
+Это означает, что $\cos{\alpha}$ равен координате точки $C$ на оси
+$AE$.
+Когда $\alpha$ возрастает $0^\circ$ до $180^\circ$ (то есть,
+когда точка $B$ пробегает полуокружность от точки $E$ до точки $D$),
+точка $C$ пробегает диаметр $ED$ от точки $E$ до точки $D$.
+При этом координата точки $C$, то есть $\cos{\alpha}$, убывает от $1$ до
+$-1$.
+===Докажем четвертый пункт теоремы.===
+Пусть $\cos{\alpha}=\cos{\beta}$.
+Докажем, что тогда $\alpha=\beta$.
+Действительно, возможно три случая:
+  - $\alpha>\beta$. Тогда по пункту 3 $\cos{\alpha}<\cos{\beta}$. Значит, этот случай не имеет места.
+  - $\alpha<\beta$. Тогда по пункту 3 $\cos{\alpha}>\cos{\beta}$. Значит, этот случай не имеет места.
+  - Следовательно, остаётся только третья возможность: $\alpha=\beta$.