Инструменты пользователя

Инструменты сайта


math-public:opredelenie_i_svojstva_kosinusa

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

math-public:opredelenie_i_svojstva_kosinusa [2016/04/08 23:20] (текущий)
labreslav создано
Строка 1: Строка 1:
 +=====Общее определение=====
 +  - Косинус острого угла равен отношению проекции к наклонной.
 +  - Косинус тупого угла равен косинусу смежного с ним угла, взятого с другим знаком.
 +  - Косинус прямого угла равен нулю.
 +  - Косинус развернутого угла равен минус единице.
  
 +=====Корректность определения косинуса=====
 +Значение косинуса угла не зависит от того, какую длину наклонной выбрать.
 +
 +====Доказательство=====
 +===Первый способ.===
 +Следует из корректности определения синуса и теоремы Пифагора.
 +
 +===Второй способ.===
 +Следует из подобия треугольников.
 +
 +=====Свойства косинуса=====
 +  - Косинус любого угла не больше $1$ и не меньше $-1$.
 +  - $\cos{(180^\circ-\alpha)}=-\cos{\alpha}$.
 +  - При возрастании угла от $0^\circ$ до $180^\circ$ косинус убывает от 1 до -1.
 +  - Косинус однозначно определяет угол.
 +
 +{{:​math-public:​070a.jpg?​direct&​300|}} {{:​math-public:​070b.jpg?​direct&​300|}}
 +
 +====Доказательство====
 +===Докажем первый пункт теоремы.===
 +Первое свойство следует из того, что проекция меньше наклонной.
 +
 +===Докажем второй пункт теоремы.===
 +Второе свойство следует из того, что углы $180^\circ-\alpha$ и
 +$\alpha$ являются смежными.
 +
 +===Докажем третий пункт теоремы.===
 +
 +Рассмотрим окружность единичного радиуса с центром в точке $A$ и диаметром $DE$.
 +
 +Пусть на прямой $DE$ задана числовая ось с началом в точке $A$ и единичным отрезком $AE$.
 +
 +Проведем радиус $AB$ и получим угол $\a BAE$ некоторой величины $\alpha$.
 +
 +Пусть точка $C$ является проекцией точки $B$ на прямую $DE$.
 +
 +Тогда $\cos{\alpha}=AC$ при $\alpha\leqslant 90^\circ$ и $\cos{\alpha}=-AC$ при $\alpha>​90^\circ$.
 +
 +Это означает,​ что $\cos{\alpha}$ равен координате точки $C$ на оси
 +$AE$.
 +
 +Когда $\alpha$ возрастает $0^\circ$ до $180^\circ$ (то есть,
 +когда точка $B$ пробегает полуокружность от точки $E$ до точки $D$),
 +точка $C$ пробегает диаметр $ED$ от точки $E$ до точки $D$.
 +
 +При этом координата точки $C$, то есть $\cos{\alpha}$,​ убывает от $1$ до
 +$-1$.
 +
 +===Докажем четвертый пункт теоремы.===
 +
 +Пусть $\cos{\alpha}=\cos{\beta}$.
 +
 +Докажем,​ что тогда $\alpha=\beta$.
 +
 +Действительно,​ возможно три случая:​
 +  - $\alpha>​\beta$. Тогда по пункту 3 $\cos{\alpha}<​\cos{\beta}$. Значит,​ этот случай не имеет места.
 +  - $\alpha<​\beta$. Тогда по пункту 3 $\cos{\alpha}>​\cos{\beta}$. Значит,​ этот случай не имеет места.
 +  - Следовательно,​ остаётся только третья возможность:​ $\alpha=\beta$.
math-public/opredelenie_i_svojstva_kosinusa.txt · Последние изменения: 2016/04/08 23:20 — labreslav