no way to compare when less than two revisions

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+=====Общее определение синуса=====
+  - Синус острого угла равен отношению перпендикуляра к наклонной.
+  - Синус тупого угла равен синусу смежного острого угла.
+  - Синус прямого угла равен единице.
+  - Синус развернутого угла равен нулю.
+=====Корректность определения синуса=====
+Пусть из точки $B$, лежащей на стороне $p$ острого угла $A$, опущен
+перпендикуляр $BC$ на сторону $q$ этого угла. Тогда отношение
+перпендикуляра $BC$ к наклонной $BA$ не зависит от выбора точки $B$.
+{{:math-public:064.jpg?direct&300|}}{{:math-public:064b.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+===Первый способ (не использует подобия).===
+На стороне $q$ выберем любую точку $M$.
+Выразим площадь $S$ треугольника $ABM$ двумя способами.
+С одной стороны, $S=\dfrac{1}{2}ma$, где $a=BC, m=AM$.
+C другой стороны, $S=\dfrac{1}{2}ch$, где $h=MD$ -- высота треугольника $ABM$ и $c=BA$.
+Поэтому $ma=ch$ или $\dfrac{a}{c}=\dfrac{h}{m}$.
+Если на стороне $p$ взять другую точку $B_1$ и повторить проведенные рассуждения, то снова получим, что $\dfrac{a_1}{c_1}=\dfrac{h}{m}$, где $a_1=B_1C, c_1=AB_1$.
+Поэтому $\dfrac{a_1}{c_1}=\dfrac{a}{c}$.
+Отношение перпендикуляра к наклонной не зависит от того, на какую
+сторону угла опущен перпендикуляр.
+Действительно, пусть, как и раньше, $M$ -- точка на стороне $q$ угла $A$ и $MD\perp p$.
+Вернемся к равенству $\dfrac{a}{c}=\dfrac{h}{m}$
+В правой части этого равенства стоит отношение перпендикуляра к наклонной, которое с
+выбором точки $M$ не связано.
+Значит правая часть этого равенства от выбора точки $M$ не зависит.
+===Второй способ (использует подобие).===
+Если на стороне $p$ взять точки $B$ и $B_1$ и опустить из них
+перпендикуляры $BC$ и $B_1C_1$ к стороне $q$ угла $A$, то
+треугольники $ABC$ и $AB_1C_1$ будут подобны по двум углам.
+Следовательно, $\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{B_1C_1}{AB_1}$.
+Отношение перпендикуляра к наклонной не зависит от того, на какую сторону угла опущен
+перпендикуляр.
+Действительно, пусть, как и раньше, $M$ -- точка на стороне $q$ угла $A$ и $MD\perp p$.
+Треугольники $ADM$ и $ABC$ подобны по двум углам ($\angle A$ -- общий).
+Следовательно, $\dfrac{MD}{AM}=\dfrac{BC}{AB}$, а отношение, стоящее в правой части
+этого равенства не зависит от выбора точки $M$.
+=====Теорема=====
+Синусы углов, имеющих равные величины, равны.
+{{:math-public:069.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+Возьмем два равных острых угла: $\angle A$ и $\angle M$.
+Из некоторой точки $B$ на стороне угла $A$ опустим перпендикуляр
+$BC$ на другую сторону угла $A$.
+Получим прямоугольный треугольник $ABC$.
+Отложим на сторонах угла $M$ отрезки $MP=AB$ и $MQ=AC$.
+Тогда $\triangle MPQ=\triangle ABC$ по первому признаку равенства.
+Поэтому $\angle Q=\angle C=90^\circ$.
+Итак $PQ$ -- перпендикуляр, опущенный из точки $P$ одной стороны угла $M$ на другую его сторону.
+Но тогда $\sin{\angle A}=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{PQ}{PM}=\sin{\angle M}$.