Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:osnovniye_opr_func [2016/10/21 09:22] – labreslav
+++ math-public:osnovniye_opr_func [2016/10/21 16:50] (текущий) – labreslav
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+**Определение 1.** Функция  $f(x)$  называется **ограниченной сверху**, если существует число  $B\in \mathbb{R}$  такое, что для всех  $x\in D_f$  выполняется неравенство  $f(x)\leqslant B$ , т.е.
+ $\exists B\in \mathbb{R}: \forall x\in D_f\ \ f(x)\leqslant B .$
+**Определение 2.** Функция  $f(x)$  называется  **ограниченной снизу**, если существует число  $A \in \mathbb{R}$  такое, что для всех   $x \in D(f)$  из области определения функции выполняется неравенство  $f(x)\geqslant A$ , т.е.
+ $\exists A \in \mathbb{R}: \forall x \in D(f)\ \   f(x)\geqslant A .$
+**Определение 3.** Функция  $f(x)$  называется **ограниченной**, если она одновременно ограничена сверху и снизу, т.е. существуют такие числа  $A,B \in \mathbb{R}$ , что для всех  $x \in D(f)$  выполняется двойное неравенство  $A \leqslant f(x)\leqslant B$ , т.е.
+ $\forall A,B \in \mathbb{R}: \forall x \in D(f)\ \    A\leqslant f(x)\leqslant B .$
+**Определение 4.** Если существует такая точка  $x_1 \in D(f)$ , что для всех  $x \in D(f)$  выполняется неравенство  $f(x) \leqslant f(x_1)$ , то говорят, что функция  $f(x)$  в точке  $x_1$  принимает наибольшее значение, а само число  $M=f(x_1)$  называется **наибольшим значением** функции.
+**Определение 5.**  Если существует такая точка  $x_2  \in D(f)$ , что для всех  $x \in D(f)$  выполняется неравенство  $f(x)\geqslant f(x_2)$ , то говорят, что функция  $f(x)$  в точке  $x_2$  принимает наименьшее значение, а само число  $m=f(x_2)$  называется **наименьшим значением** функции.
+**Определение 6.** Функция  $f$  называется **строго возрастающей** на множестве  $A \subset D(f)$ , если для любых значений аргумента  $x_1,x_2 \in A$ , таких, что  $x_2>x_1$ , выполняется неравенство  $f(x_2)>f(x_1)$ .
+**Определение 7.** Функция  $f$  называется **строго убывающей** на множестве  $A \subset D(f)$ , если для любых значений аргумента  $x_1,x_2 \in A$ , таких, что  $x_2>x_1$ , выполняется неравенство  $f(x_2)<f(x_1)$ .
+**Определение 8.** Функция  $f$  называется **нестрого возрастающей** на множестве  $A \subset D(f)$ , если для любых значений аргумента  $x_1,x_2 \in A$ , таких, что  $x_2>x_1$ , выполняется неравенство  $f(x_2)\geqslant f(x_1)$ .
+**Определение 9.** Функция  $f$  называется **нестрого убывающей** на множестве  $A \subset D(f)$ , если для любых значений аргумента  $x_1,x_2 \in A$ , таких, что  $x_2>x_1$ , выполняется неравенство  $f(x_2)\leqslant f(x_1)$ .
+**Определение 10.** Точка  $x_0 \in D(f)$  называется точкой **строгого максимума функции**, если существует такой интервал  $(x_0 - \delta;x_0  + \delta) \subset D(f)$ , что для всех  $x$  из этого интервала, кроме самой точки  $x_0$ , выполняется неравенство  $f(x) < f(x_0)$ , т.е.  $\exists \delta>0: \forall x\in (x_0-\delta;x_0+\delta)\setminus\{x_0\}\ \ f(x)<f(x_0) .$
+**Определение 11.** Точка  $x_0 \in D(f)$  называется точкой **строгого минимума функции**, если существует такой интервал  $(x_0 - \delta;x_0  + \delta) \subset D(f)$ , что для всех  $x$  из этого интервала, кроме самой точки  $x_0$ , выполняется неравенство  $f(x) > f(x_0)$ , т.е.  $\exists \delta>0: \forall x\in (x_0-\delta;x_0+\delta)\setminus\{x_0\}\ \ f(x)>f(x_0) .$
+**Определение 12.** Функция   $f(x)$  называется **чётной**, если  $\forall x_0\in D(f)$  выполняется равенство  $f(-x_0)=f(x_0)$ , при этом множество  $D_f$  должно быть симметрично относительно нуля.
+**Определение 13.** Функция   $f(x)$  называется **нечётной**, если  $\forall x \in D(f)$  выполняется равенство  $f(-x_0)=-f(x_0)$ , при этом множество  $D_f$  должно быть симметрично относительно нуля.
+**Определение 14.** **Функция общего вида** — функция, не являющаяся ни чётной, ни нечётной.
+**Определение 15.** Образ всей области определения функции  $f: X \rightarrow Y$ , т.е. образ самого множества  $X$ , называется **множеством значений функции ** и обозначается  $E(f): f(X)=E(f)$ .
+**Определение 16.** **Понятие функции**: Пусть заданы некоторые множества  $X$  и  $Y$  произвольной природы и закон  $f$ , который каждому элементу  $x$  множества  $X$  ставит в соответствие ровно один элемент  $у$  множества  $Y: \forall x \in X \stackrel{f}{\rightarrow} y \in Y .$
+Тогда говорят что на множестве  $X$  задана функция  $f$  со значениями в множестве  $Y$  и пишут:  $f: X\rightarrow Y$ .
+**Определение 17.** Если при отображении  $f: X\rightarrow Y$  элемент  $x_0 \in X$   переходит в элемент  $y_0 \in Y$ , то говорят, что  $y_0$  есть **образ элемента**  $x_0$ .
+**Определение 18.** Пусть  $y_0 \in Y$ . Множество всех элементов  $x \in X$ , образом каждого из которых является  $y_0$ , называется **прообразом элемента**  $y_0$  и обозначается  $f^{-1}(y_0)=\left\{x \in X|f(x) = y_0\right\} .$
+**Определение 19.** **Образом множества**  $A \subset X$  называется множество образов всех элементов  $x \in A$ . Образ множества  $A$  обозначается  $f(A)$ :  $f(A)=\left\{y \in Y|y= f(x),x \in A\right\} .$
+**Определение 20.** **Прообразом множества**  $B \subset Y$  называется объединение прообразов всех элементов  $y \in B$ . Прообраз множества  $B$  обозначается  $f^{-1} (B)$ .