math-public:otnoshenie_ploshchadej_treugolnikov_s_ravnymi_ehlementami
Различия
Показаны различия между двумя версиями страницы.
Предыдущая версия справа и слеваПредыдущая версияСледующая версия | Предыдущая версияСледующая версияСледующая версия справа и слева | ||
math-public:otnoshenie_ploshchadej_treugolnikov_s_ravnymi_ehlementami [2016/04/13 20:03] – [Доказательство] labreslav | math-public:otnoshenie_ploshchadej_treugolnikov_s_ravnymi_ehlementami [2019/11/06 23:51] – labreslav | ||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | ======Отношение площадей треугольников с равными элементами====== | ||
+ | =====Теорема===== | ||
+ | - Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся, | ||
+ | - Если основания двух треугольников равны, то их площади относятся, | ||
+ | - Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, | ||
+ | {{: | ||
+ | {{: | ||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ===Докажем первый пункт теоремы.=== | ||
+ | Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ в которых высоты $BH$ и $B_1H_1$ равны. | ||
+ | |||
+ | Тогда $\dfrac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}}=\dfrac{\frac{1}{2}BH\cdot | ||
+ | AC}{\dfrac{1}{2}B_1H_1\cdot A_1C_1}=\dfrac{AC}{A_1C_1}$. | ||
+ | |||
+ | ===Докажем второй пункт теоремы.=== | ||
+ | Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ в которых основания $AC$ и $A_1C_1$ равны. | ||
+ | |||
+ | Тогда $\dfrac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}BH\cdot | ||
+ | AC}{\dfrac{1}{2}B_1H_1\cdot A_1C_1}=\dfrac{BH}{B_1H_1}$. | ||
+ | |||
+ | ===Докажем третий пункт теоремы.=== | ||
+ | Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ в которых углы $A$ и $A_1$ равны. | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Наложим треугольник $A_1B_1C_1$ на треугольник $ABC$ так, чтобы вершина $A_1$ совместилась с вершиной $A$, а стороны $A_1B_1$ и $A_1C_1$ наложились соответственно на лучи $AB$ и $AC$. | ||
+ | |||
+ | Треугольники $ABC$ и $AB_1C$ имеют общую высоту $CH$, поэтому | ||
+ | $\dfrac{S_{ABC}}{S_{AB_1C_1}}=\dfrac{AB}{AB_1}$. | ||
+ | |||
+ | Треугольники $AB_1C$ и $AB_1C_1$ имеют общую высоту $B_1H_1$, поэтому | ||
+ | $\dfrac{S_{AB_1C}}{S_{AB_1C_1}}=\dfrac{AC}{AC_1}$. | ||
+ | |||
+ | Перемножая полученные равенства, | ||
+ | A_1C_1}$. | ||
+ | |||
+ | =====Свойство биссектрисы треугольника===== | ||
+ | Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, | ||
+ | пропорциональные двум другим его сторонам. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором проведена биссектриса $BD$. | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Действительно, | ||
+ | проведенная из вершины $B$, общая, то $S_{ABD}: | ||
+ | |||
+ | Кроме того у этих треугольников есть равные углы, следовательно их площади | ||
+ | относятся, | ||
+ | BD}{BD\cdot BC}=\dfrac{AB}{BC}$. | ||
+ | |||
+ | Сравнивая полученные равенства для отношения площадей, | ||
+ | |||
+ | |||
+ | =====Теорема об инцентре===== | ||
+ | - Инцентр делит биссектрису $l_c$ в отношении $(a+b):c$ | ||
+ | - Все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | ===Докажем первый пункт теоремы=== | ||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором проведены биссектрисы $AK$ и $CL$. | ||
+ | |||
+ | Пусть $BC=a, AC=b, AB=c$. | ||
+ | |||
+ | Пусть $AK$ пересекает $CL$ в точке $O$. | ||
+ | |||
+ | По теореме $AL: | ||
+ | |||
+ | Тогда $AL=c\cdot\dfrac{b}{a+b}$ | ||
+ | |||
+ | Кроме того в треугольнике $ACL$, $AO$ -- биссектриса. | ||
+ | |||
+ | Тогда $CO: | ||
+ | |||
+ | ===Докажем второй пункт теоремы=== | ||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором проведены биссектрисы $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$. | ||
+ | |||
+ | Пусть $BC=a, AC=b, AB=c$. | ||
+ | |||
+ | Пусть $AA_1\cap CC_1=I_1$, $BB_1\cap CC_1=I_2$. | ||
+ | |||
+ | Тогда по теореме $CI_1: | ||
+ | |||
+ | А это означает, | ||
+ | |||
+ | Таким образом все биссектрисы пересекаются в одной точке. |
math-public/otnoshenie_ploshchadej_treugolnikov_s_ravnymi_ehlementami.txt · Последнее изменение: 2019/11/18 18:08 — labreslav