math-public:otrtocentr
Различия
Показаны различия между двумя версиями страницы.
Предыдущая версия справа и слеваПредыдущая версияСледующая версия | Предыдущая версия | ||
math-public:otrtocentr [2019/05/27 07:51] – labreslav | math-public:otrtocentr [2019/05/27 07:58] (текущий) – labreslav | ||
---|---|---|---|
Строка 487: | Строка 487: | ||
+ | ===== Теорема ===== | ||
+ | $$HI_a=\sqrt{4R^2-\dfrac{-a^3+b^3+c^3-abc}{2(p-a)}}$$ | ||
+ | ====Доказательство==== | ||
=====Лемма 3===== | =====Лемма 3===== | ||
Строка 509: | Строка 512: | ||
Тогда | Тогда | ||
- | $HI^2_a = \dfrac{1}{4p^2}\left(a^2 \overrightarrow{HA}^2+b^2 \overrightarrow{HB}^2+c^2 \overrightarrow{HC}^2-2ab\overrightarrow{HA}\cdot\overrightarrow{HB}+2bc\overrightarrow{HB}\cdot\overrightarrow{HC}-2ac\overrightarrow{HA}\cdot\overrightarrow{HC}\right) =$ | + | $HI^2_a = \dfrac{1}{4(p-a)^2}\left(a^2 \overrightarrow{HA}^2+b^2 \overrightarrow{HB}^2+c^2 \overrightarrow{HC}^2-2ab\overrightarrow{HA}\cdot\overrightarrow{HB}+2bc\overrightarrow{HB}\cdot\overrightarrow{HC}-2ac\overrightarrow{HA}\cdot\overrightarrow{HC}\right) =$ |
- | $=4R^2(a^2+b^2+c^2)-(a^4+b^4+c^4)+4R^2\left(-2ab+2bc-2ac\right)-(a^2+b^2+c^2)(-ab+bc-ac)$ | + | $=\dfrac{1}{4(p-a)^2}\left(4R^2(a^2+b^2+c^2)-(a^4+b^4+c^4)+4R^2\left(-2ab+2bc-2ac\right)-(a^2+b^2+c^2)(-ab+bc-ac)\right)$ |
- | $=4R^2(a^2+b^2+c^2-2ab+2bc-2ac)-((a^4+b^4+c^4)+(a^2+b^2+c^2)(-ab+bc-ac))$ | + | $=\dfrac{1}{4(p-a)^2}\left(4R^2(a^2+b^2+c^2-2ab+2bc-2ac)-((a^4+b^4+c^4)+(a^2+b^2+c^2)(-ab+bc-ac))\right)$ |
- | $=4R^2(-a+b+c)^2-(a^4 - a^3 b - a^3 c | + | $=\dfrac{1}{4(p-a)^2}\left(4R^2(-a+b+c)^2-(a^4 - a^3 b - a^3 c |
+ b^4 - a b^3 + b^3 c | + b^4 - a b^3 + b^3 c | ||
+ c^4 - a c^3 + b c^3 | + c^4 - a c^3 + b c^3 | ||
- | + a^2 b c - a b^2 c - a b c^2)$ | + | + a^2 b c - a b^2 c - a b c^2)\right)$ |
- | $=4R^2(-a+b+c)^2-( | + | $=\dfrac{1}{4(p-a)^2}\left(4R^2(-a+b+c)^2-( |
- a^3(-a+b+c) | - a^3(-a+b+c) | ||
+ b^3(-a+b+c) | + b^3(-a+b+c) | ||
+ c^3(-a+b+c) | + c^3(-a+b+c) | ||
- | - abc(-a+b+c)$ | + | - abc(-a+b+c)\right)$ |
- | $=16R^2(p-a)^2-2(p-a)( | + | $=\dfrac{1}{4(p-a)^2}\left(16R^2(p-a)^2-2(p-a)( |
- | - a^3+ b^3+ c^3- abc)$ | + | - a^3+ b^3+ c^3- abc)\right)$ |
- | $=4(p-a)^2\left(4R^2-\dfrac{-a^3+b^3+c^3-abc}{2(p-a)}\right)$ | + | $=4R^2-\dfrac{-a^3+b^3+c^3-abc}{2(p-a)}$ |
math-public/otrtocentr.txt · Последнее изменение: 2019/05/27 07:58 — labreslav