Ортоцентр

Теорема об ортоцентрической системе точек

Если в четвёрке точек точка является точкой пересечения высот треугольника , то и любая из четырёх точек является ортоцентром треугольника, образованного тремя остальными точками.

Доказательство

Рассмотрим треугольник , в котором – это высоты, точка – это ортоцентр.

Докажем, что точка – это ортоцентр треугольника .

Действительно, для треугольника высотами являются и .

А прямые, содержащие эти отрезки, пересекаются в точке .

Аналогично точки и являются ортоцентрами для треугольников и соответственно.

Теорема

Радиусы окружностей, проходящих через любые три точки ортоцентрической системы, равны.

Доказательство

Рассмотрим треугольник , в котором высоты и пересекаются в точке .

Докажем, что радиусы окружностей и , описанных соответственно около треугольников и , равны.

В четырёхугольнике углы и прямые.

А так как сумма углов четырёхугольника равна , то , и, следовательно, синусы этих углов равны.

Радиусы рассматриваемых окружностей выражаются по формулам .

Но так как синусы и равны, то и радиусы и равны.

Теорема

В остроугольном треугольнике с высотами выполняются следующие соотношения:

Доказательство

Рассмотрим треугольник с высотами .

В прямоугольных треугольниках и острый угол является общим, поэтому другие острые углы равны: .

Аналогично в треугольниках и есть общий острый угол , а в треугольниках и есть общий острый угол .

Следовательно, другие острые углы в этих парах треугольников равны между собой:

Теорема

В остроугольном треугольнике с высотами и ортоцентром выполняются следующие соотношения:

Доказательство

Обозначим .

В прямоугольных треугольниках и есть общий острый угол , следовательно, другие острые углы в этих треугольниках равны: $\angle A=\angle B_1HC=\alpha$.

Кроме того , как вертикальные.

Заметим, что .

Выпишем синусы этих углов из прямоугольных треугольников и : , .

Значит, или .

Тогда по второму признаку подобия (угол – общий, а стороны и пропорциональны сторонам и ).

Тогда углы этих треугольников, лежащие напротив пропорциональных сторон, равны: $\angle CA_1B_1=\angle A=\alpha, \angle CB_1A_1=\angle B=\beta$.

Аналогично из подобия треугольников и получаем .

Таким образом .

Аналогично можно получить и остальные соотношения.

Теорема

В остроугольном треугольнике с высотами и ортоцентром выполняются следующие соотношения:

,

,

.

Доказательство

Рассмотрим треугольник , в котором проведены высоты $AA_1, BB_1, CC_1H$ является ортоцентром.

Заметим, что .

Тогда, так как , то .

C другой стороны, из прямоугольного треугольника получаем, что $\angle A_1AC=90^\circ-\angle C$.

Значит, .

Аналогично можно получить и остальные соотношения.

Следствие

Высоты треугольника являются биссектрисами его ортотреугольника (следовательно, ортоцентр остроугольного треугольника является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник).

Теорема

Пусть и – высоты треугольнике , а – ортоцентр этого треугольника. Тогда

.

Доказательство

С учётом первого признака подобия треугольников первый пункт теоремы напрямую следует из теоремы \ref{108b}, а второй пункт теоремы напрямую следует из теоремы \ref{108c}.

В третьем пункте теоремы по второму признаку подобия, так как по теореме \ref{108a}, а $\angle C_1HB=\angle B_1HC$, как вертикальные.

Подобие прямоугольных треугольников и следует из того, что острый угол для этих треугольников является общим.

Остальные подобия доказываются аналогично.

Теорема

Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно его сторон, лежат на описанной окружности.

Доказательство

Первый случай: остроугольный треугольник

Рассмотрим треугольник , в котором высоты и пересекаются в точке .

Пусть прямая пересекает окружность, описанную около треугольника , в точке .

Докажем, что точка симметрична точке относительно стороны .

Так как , то достаточно доказать, что .

Пусть .

Тогда , так как это вписанные углы.

Кроме того, так как в прямоугольных треугольниках и острые углы и равны, то другие острые углы тоже равны, то есть $\angle HAC=\angle HBC=\frac{\alpha}{2}$.

Тогда в треугольнике отрезок является биссектрисой и высотой, значит, – равнобедренный, а не только высота и биссектриса, но и медиана, то есть .

Второй случай: тупоугольный треугольник

Рассмотрим треугольник , в котором высоты пересекаются в точке .

Докажем, что точка , симметричная точке относительно точки стороны , лежит на окружности, описанной около треугольника .

Найдем чему равен .

Пусть , тогда , так как они вертикальны. следует из того, что сумма углов в четырехугольнике равна , а .

Треугольники и равны, так как каждый из которых состоит из двух треугольников, которое в свою очередь равны соответствующему треугольнику по двум сторонам и углу (, - общая). Из этого следует, что .

Предположим противное, что точка не лежит на окружности. Тогда существует точка , которая лежит на окружности и на продолжении .

Докажем, что . и опирается на дугу . Эта дуга равна . Тогда дуга , и из того, что опирается на дугу , следует: .

Есть два варианта расположения точки . Либо внутри окружности, либо за ее пределами.

Если точка находится внутри окружности, то получается, что , где и . Такого не возможно, противоречие.

Если точка находится за пределами окружности, то получается, что , где и . Такого тоже не возможно, противоречие.

Из противоречия следует, что точка равна точке , то есть точка лежит на окружности.

Третий случай:прямоугольный треугольник

Рассмотрим треугольник . Его высоты пересекаются в точке .

То есть точка , симметричная точке относительно точки стороны , это и есть точка , которая в любом случае лежит на около описанной окружности.

Теорема

Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно середин сторон, также лежат на описанной окружности и совпадают с точками, диаметрально противоположными соответствующим вершинам.

Доказательство

Рассмотрим треугольник , в котором высоты пересекаются в точке .

Докажем, что точка , симметричная точке относительно середины стороны , лежит на окружности, описанной около треугольника , при этом – это диаметр.

Рассмотрим центральную симметрию треугольника относительно точки .

Пусть точка – это образ точки при такой симметрии, тогда треугольник отображается в треугольник , а точка , ортоцентр треугольника , отображается в точку , ортоцентр треугольника .

Нужно доказать, что точка лежит на окружности, описанной около треугольника .

Углы и равны (так как симметричные треугольники и равны).

Кроме того, так как в четырёхугольнике углы и прямые, то .

Таким образом .

Таким образом в четрёхугольнике сумма противоположных углов равна , а значит, он является вписанным, то есть точка лежит на окружности.

Докажем, что – диаметр.

Так как треугольник отображается в треугольник , то .

Но из прямоугольного треугольника имеем . Тогда .

А так как вписанный прямой угол опирается на диаметр, то – это диаметр.

Теорема

Центр описанной около треугольника окружности служит ортоцентром треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника.

Доказательство

Рассмотрим треугольник , в котором точки – это середины сторон , а точка – центр описанной окружности.

Докажем, что – ортоцентр треугольника .

Так как центр описанной окружности лежит на серединных перпендикулярах к сторонам треугольника, то, например, .

А так как средняя линия, и, следовательно, , то .

Таким образом – это высота треугольника .

Аналогично и – высоты треугольника .

Таким образом точка является ортоцентром треугольника .

Следствие

Точки , и лежат на одной прямой, причем , в частности, .

Теорема

Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра вдвое больше, чем расстояние от центра описанной окружности до противоположной стороны.

Доказательство

Рассмотрим треугольник , в котором точка – это ортоцентр, а точка – это центр описанной окружности.

Докажем, что расстояние от точки до стороны (обозначим его ) вдвое меньше отрезка .

Основываясь на следствии \ref{sle96-1}, построим треугольник , для которого треугольник будет серединным.

Тогда по следствию \ref{sle96-2} точка является центром окружности, описанной около .

Таким образом отрезок в треугольнике соответствует отрезку в треугольнике .

А так как по следствию \ref{sle96-1} эти треугольники подобны с коэффициентом , получаем, что .

Теорема

Если - центр описанной окружности , то .

Доказательство

Рассмотрим треугольник , в котором точка – центр описанной окружности, точка – ортоцентр, – середина стороны , – высота.

Отложим на серединном перпендикуляре точку так, чтобы .

Тогда – параллелограмм (так как диагонали точкой пересечения делятся пополам), а, следовательно, .

Кроме того прямые и перпендикулярны стороне , следовательно .

Кроме того по теореме \ref{117} .

Следовательно, – параллелограмм, а значит .

Таким образом .

Теорема

, где – радиус описанной окружности; – длины сторон треугольника.

Доказательство

Рассмотрим остроугольный треугольник , около которого описана окружность с центром . Центральный угол и вписанный угол опираются на дугу , поэтому . Кроме того по обобщённой теореме синусов верны соотношения $a=2R\sin{A}, b=2R\sin{B}, c=2R\sin{\gamma}$. Учитывая эти соотношения, а так же теорему \ref{119}, получаем

Если треугольник тупоугольный с тупым углом , то , но доказательства это не меняет, так как .

Если треугольник прямоугольный с прямым углом , то , и доказательство не меняется.

Следствие

Теорема

.

Доказательство

Рассмотрим треугольник , с высотами и .

Первое равенство следует из треугольника , второе – из треугольника , а третье из теоремы синусов для треугольника . Модуль появляется из-за случая, когда – тупой.

Ссылки

https://math.stackexchange.com/questions/1767751/distance-between-incentre-and-orthocentre

here is inradius and is circumradius. I considered is orthocentre and is incentre). I could find and So applying cosine rule I got

$

Теорема (расстояние между ортоцентром и инцентром)

Доказательство

Чтобы центр масс треугольника попал в инцентр вершины нужно загрузить массами соответственно.

Тогда для любой точки будет верно равенство

Тогда можно взять вместо точки ортоцентр :

Вспомним, что . Тогда

Лемма 0

Лемма 1

Лемма 2

продолжение доказательства

Тогда

Лемма 3

продолжение доказательства

Тогда

$=4R^2(-a+b+c)^2-(a^4 - a^3 b - a^3 c + b^4 - a b^3 + b^3 c + c^4 - a c^3 + b c^3 + a^2 b c - a b^2 c - a b c^2)$

$=4R^2(-a+b+c)^2-( - a^3(-a+b+c) + b^3(-a+b+c) + c^3(-a+b+c) - abc(-a+b+c)$

$=16R^2(p-a)^2-2(p-a)( - a^3+ b^3+ c^3- abc)$