Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:otrtocentr [2019/05/26 23:33] – [Лемма 3] labreslav
+++ math-public:otrtocentr [2019/05/27 07:58] (текущий) – labreslav
@@ Строка 487: / Строка 487: @@
+===== Теорема =====
+$$HI_a=\sqrt{4R^2-\dfrac{-a^3+b^3+c^3-abc}{2(p-a)}}$$
+====Доказательство====
 =====Лемма 3=====
@@ Строка 504: / Строка 507: @@
 $ = 4R^2\left(-2ab+2bc-2ac\right)-(a^2+b^2+c^2)(-ab+bc-ac)$
+===продолжение доказательства===
+Тогда
+$HI^2_a = \dfrac{1}{4(p-a)^2}\left(a^2 \overrightarrow{HA}^2+b^2 \overrightarrow{HB}^2+c^2 \overrightarrow{HC}^2-2ab\overrightarrow{HA}\cdot\overrightarrow{HB}+2bc\overrightarrow{HB}\cdot\overrightarrow{HC}-2ac\overrightarrow{HA}\cdot\overrightarrow{HC}\right) =$
+$=\dfrac{1}{4(p-a)^2}\left(4R^2(a^2+b^2+c^2)-(a^4+b^4+c^4)+4R^2\left(-2ab+2bc-2ac\right)-(a^2+b^2+c^2)(-ab+bc-ac)\right)$
+$=\dfrac{1}{4(p-a)^2}\left(4R^2(a^2+b^2+c^2-2ab+2bc-2ac)-((a^4+b^4+c^4)+(a^2+b^2+c^2)(-ab+bc-ac))\right)$
+$=\dfrac{1}{4(p-a)^2}\left(4R^2(-a+b+c)^2-(a^4 - a^3 b - a^3 c
++ b^4  - a b^3  + b^3 c
++ c^4 - a c^3   + b c^3
++ a^2 b c - a b^2 c - a b c^2)\right)$
+$=\dfrac{1}{4(p-a)^2}\left(4R^2(-a+b+c)^2-(
+- a^3(-a+b+c)
++ b^3(-a+b+c)
++ c^3(-a+b+c)
+- abc(-a+b+c)\right)$
+$=\dfrac{1}{4(p-a)^2}\left(16R^2(p-a)^2-2(p-a)(
+- a^3+ b^3+ c^3- abc)\right)$
+$=4R^2-\dfrac{-a^3+b^3+c^3-abc}{2(p-a)}$