Инструменты пользователя

Инструменты сайта


math-public:ploshchad_parallelogramma_varinona

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

math-public:ploshchad_parallelogramma_varinona [2016/04/07 20:44]
labreslav создано
math-public:ploshchad_parallelogramma_varinona [2016/04/07 20:44] (текущий)
labreslav создано
Строка 1: Строка 1:
 +=====Теорема=====
 +Площадь параллелограмма Вариньона в два раза меньше площади
 +исходного четырехугольника.
 +
 +{{:math-public:057a.jpg?direct&300|}}
 +{{:math-public:057b.jpg?direct&300|}}
 +
 +====Доказательство====
 +===Первый случай===
 +Пусть $MNPQ$ -- параллелограмм Вариньона для выпуклого
 +четырехугольника $ABCD$, и пусть $S_{ABCD}=S$.\\
 +
 +Докажем, что
 +$S_{MNPQ}=\dfrac{S}{2}$.\\
 +
 +Треугольники $ABC$ и $BMQ$ подобны с
 +коэффициентом $\dfrac{1}{2}$.\\
 +
 + Следовательно,
 +$S_{BMQ}=\dfrac{1}{4}S_{BAC}$. Аналогично
 +$S_{DNP}=\dfrac{1}{4}S_{ACD}$.\\
 +
 +Тогда
 +$S_{BMQ}+S_{DNP}=\dfrac{1}{4}(S_{ABC}+S_{ACD})=\dfrac{1}{4}S$.\\
 +
 +
 +Аналогично $S_{CNM}+S_{QAP}=\dfrac{1}{4}S$.\\
 +
 +Тогда
 +$S_{MNPQ}=S-S_{BMQ}-S_{DNP}-S_{CNM}-S_{QAP}=S-\dfrac{1}{4}S-\dfrac{1}{4}S=\dfrac{1}{2}S$.
 +\\
 +
 +===Второй случай===
 +Рассмотрим случай, когда $ABCD$ -- невыпуклый четырехугольник.\\
 +
 +Аналогично первому
 +случаю $S_{BMQ}+S_{DNP}=\dfrac{1}{4}(S_{ABC}+S_{ACD})=\dfrac{1}{4}S$.\\
 +
 +Обозначим $S_1=S_{BAD}$.\\
 +
 +Тогда
 +$S_{CMN}=\frac{1}{4}S_{BCD}=\frac{1}{4}(S+S_1)$ и
 +$S_{QAP}=\frac{1}{4}S_1$.\\
 +
 +Тогда
 +$$S_{MNPQ}=S-S_{BMQ}-S_{NPD}-S_{CNM}+S_{AQP}=S-\dfrac{1}{4}S-\dfrac{1}{4}(S+S_1)+\dfrac{1}{4}S_1=\dfrac{1}{2}S.$$
  
math-public/ploshchad_parallelogramma_varinona.txt · Последнее изменение: 2016/04/07 20:44 — labreslav