math-public:ploshchad_parallelogramma_varinona
no way to compare when less than two revisions
Различия
Показаны различия между двумя версиями страницы.
| — | math-public:ploshchad_parallelogramma_varinona [2016/04/07 20:44] (текущий) – создано labreslav | ||
|---|---|---|---|
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| + | =====Теорема===== | ||
| + | Площадь параллелограмма Вариньона в два раза меньше площади | ||
| + | исходного четырехугольника. | ||
| + | |||
| + | {{: | ||
| + | {{: | ||
| + | |||
| + | ====Доказательство==== | ||
| + | ===Первый случай=== | ||
| + | Пусть $MNPQ$ -- параллелограмм Вариньона для выпуклого | ||
| + | четырехугольника $ABCD$, и пусть $S_{ABCD}=S$.\\ | ||
| + | |||
| + | Докажем, | ||
| + | $S_{MNPQ}=\dfrac{S}{2}$.\\ | ||
| + | |||
| + | Треугольники $ABC$ и $BMQ$ подобны с | ||
| + | коэффициентом $\dfrac{1}{2}$.\\ | ||
| + | |||
| + | | ||
| + | $S_{BMQ}=\dfrac{1}{4}S_{BAC}$. Аналогично | ||
| + | $S_{DNP}=\dfrac{1}{4}S_{ACD}$.\\ | ||
| + | |||
| + | Тогда | ||
| + | $S_{BMQ}+S_{DNP}=\dfrac{1}{4}(S_{ABC}+S_{ACD})=\dfrac{1}{4}S$.\\ | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Аналогично $S_{CNM}+S_{QAP}=\dfrac{1}{4}S$.\\ | ||
| + | |||
| + | Тогда | ||
| + | $S_{MNPQ}=S-S_{BMQ}-S_{DNP}-S_{CNM}-S_{QAP}=S-\dfrac{1}{4}S-\dfrac{1}{4}S=\dfrac{1}{2}S$. | ||
| + | \\ | ||
| + | |||
| + | ===Второй случай=== | ||
| + | Рассмотрим случай, | ||
| + | |||
| + | Аналогично первому | ||
| + | случаю $S_{BMQ}+S_{DNP}=\dfrac{1}{4}(S_{ABC}+S_{ACD})=\dfrac{1}{4}S$.\\ | ||
| + | |||
| + | Обозначим $S_1=S_{BAD}$.\\ | ||
| + | |||
| + | Тогда | ||
| + | $S_{CMN}=\frac{1}{4}S_{BCD}=\frac{1}{4}(S+S_1)$ и | ||
| + | $S_{QAP}=\frac{1}{4}S_1$.\\ | ||
| + | |||
| + | Тогда | ||
| + | $$S_{MNPQ}=S-S_{BMQ}-S_{NPD}-S_{CNM}+S_{AQP}=S-\dfrac{1}{4}S-\dfrac{1}{4}(S+S_1)+\dfrac{1}{4}S_1=\dfrac{1}{2}S.$$ | ||
math-public/ploshchad_parallelogramma_varinona.txt · Последнее изменение: 2016/04/07 20:44 — labreslav