math-public:ploshchadi_razlichnyh_mnogougolnikov
Различия
Показаны различия между двумя версиями страницы.
Предыдущая версия справа и слеваПредыдущая версияСледующая версия | Предыдущая версия | ||
math-public:ploshchadi_razlichnyh_mnogougolnikov [2016/04/14 00:11] – [Доказательство] labreslav | math-public:ploshchadi_razlichnyh_mnogougolnikov [2016/04/14 00:12] (текущий) – [Доказательство] labreslav | ||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | ======Площади различных многоугольников====== | ||
+ | =====Площадь прямоугольника===== | ||
+ | Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Рассмотрим прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB=a$ и $BC=b$. | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Достроим прямоугольник $ABCD$ до квадрата $AEGK$, продлив прямую $AD$ за | ||
+ | точку $D$ на отрезок $DE=a$, и прямую $AB$ за точку $B$ на отрезок | ||
+ | $BK=b$. | ||
+ | |||
+ | Тогда $BCHK$ и $CFED$ -- это квадраты, | ||
+ | соответственно $b^2$ и $a^2$. | ||
+ | |||
+ | Кроме того, $CFGH$ -- это прямоугольник со сторонами $a$ и $b$, следовательно, | ||
+ | равна площади $ABCD$. | ||
+ | |||
+ | Обозначим площадь $ABCD$ за $S$. | ||
+ | |||
+ | Тогда | ||
+ | $S_{AEGK}=S_{BCHK}+S_{CFED}+2S=a^2+b^2+2S$. | ||
+ | |||
+ | С другой стороны | ||
+ | $S_{AEGK}=(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$. | ||
+ | |||
+ | Откуда получаем, | ||
+ | есть $S=ab$. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | =====Площадь прямоугольного треугольника===== | ||
+ | Площадь прямоугольного треугольника равна полупроизведению его катетов. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC$, в котором $BC=a, AC=b$ и $\a C=90^\circ$. | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Достроим треугольник $\triangle ABC$ до прямоугольника $ADBC$. | ||
+ | |||
+ | Тогда | ||
+ | $S_{ADBC}=ab=2S_{\triangle ABC}$. | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | |||
+ | =====Площадь треугольника===== | ||
+ | Площадь треугольника равна половине произведения любой из его сторон | ||
+ | и проведенной к ней высоты. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | {{: | ||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором $BH$ -- это высота. | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Возможны три случая: | ||
+ | - точка $H$ совпадает с одним из концов отрезка $AC$, например с точкой $C$; | ||
+ | - точка $H$ принадлежит отрезку $AC$ и не совпадает с его концами; | ||
+ | - точка $H$ лежит за пределами отрезка $AH$. | ||
+ | |||
+ | ===Первый случай=== | ||
+ | Пусть высота из точки $B$ падает в один из | ||
+ | концов отрезка $AC$, например в вершину $C$. | ||
+ | |||
+ | Тогда $BC=BH$ и $\triangle ABC$ -- прямоугольный, | ||
+ | теореме получаем $S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot BH\cdot AC$. | ||
+ | |||
+ | ===Второй случай=== | ||
+ | Пусть высота $BH$ падает внутрь отрезка $AC$. | ||
+ | |||
+ | Тогда высота $BH$ разбивает треугольник $ABC$ на два прямоугольных треугольника $ABH$ и $BHC$, | ||
+ | следовательно, | ||
+ | AH+\dfrac{1}{2}\cdot BH\cdot HC=\dfrac{1}{2}\cdot BH\cdot | ||
+ | (AH+HC)=\frac{1}{2}\cdot BH\cdot AC$. | ||
+ | |||
+ | ===Третий случай=== | ||
+ | Пусть высота $BH$ падает вне отрезка $AC$, например за точку $C$. | ||
+ | |||
+ | Тогда | ||
+ | |||
+ | $S_{ABC}=S_{ABH}-S_{BCH}=\dfrac{1}{2}\cdot BH\cdot | ||
+ | AH-\dfrac{1}{2}\cdot BH\cdot CH=\dfrac{1}{2}\cdot BH\cdot | ||
+ | (AH-CH)=\dfrac{1}{2}\cdot BH\cdot AC$. | ||
+ | |||
+ | =====Площадь параллелограмма===== | ||
+ | Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, | ||
+ | проведенную к этой стороне. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Рассмотрим параллелограмм $ABCD$, в котором сторона $AD=a$ и высота $BH=h$. | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Проведем диагональ $AC$. | ||
+ | |||
+ | По свойствам параллелограмма, | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | |||
+ | Тогда $S_{ABCD}=2S_{ACD}=ah$. | ||
+ | |||
+ | =====Площадь трапеции===== | ||
+ | Площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму ее | ||
+ | оснований. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Рассмотрим трапецию $ABCD$, в которой $BH=h$ -- высота, | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Проведем диагональ $AC$. | ||
+ | |||
+ | Тогда $S_{\triangle ABD}=\dfrac{1}{2}\cdot ah$, $S_{\triangle BCD}=\dfrac{1}{2} ah$, поскольку высоты этих треугольников, | ||
+ | трапеции. | ||
+ | |||
+ | Тогда $S_{ABCD}=S_{ABD}+S_{BCD}=\dfrac{1}{2}(ah+bh)=h\cdot\dfrac{a+b}{2}$. | ||
+ | |||
+ | =====Площадь ромба===== | ||
+ | Площадь ромба равна полупроизведению его диагоналей. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Рассмотрим ромб $ABCD$, в котором диагонали $AC=d_1$ и $BD=d_2$. | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. | ||
+ | |||
+ | Диагонали разбивают ромб на четыре равных треугольника $\triangle ABO, | ||
+ | \triangle BCO, \triangle CDO, \triangle DAO$. | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | d_1d_2$. | ||
+ | |||
+ | =====Теорема (о площади четырехугольника с перпендикулярными диагоналями)===== | ||
+ | Площадь выпуклого четырехугольника со взаимно перпендикулярными диагоналями равна полупроизведению его диагоналей. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Рассмотрим четырехугольник $ABCD$ в котором $AC\perp BD$. | ||
+ | |||
+ | Пусть $AC$ пересекает $BD$ в точке $O$. | ||
+ | |||
+ | Обозначим $BO=a, CO=b, DO=c, AO=d$. | ||
+ | |||
+ | Тогда | ||
+ | |||
+ | $S_{ABCD}=S_{AOB}+S_{BOC}+S_{COD}+S_{AOD}=\dfrac{1}{2}ad+\dfrac{1}{2}ab+\dfrac{1}{2}bc+\dfrac{1}{2}cd=\dfrac{1}{2}(a(b+d)+c(b+d))=\dfrac{1}{2}(a+c)(b+d)=\dfrac{1}{2}AC\cdot BD$ | ||
+ | |||
+ | =====Теорема (о площадях боковых треугольников в трапеции)===== | ||
+ | Два треугольника, | ||
+ | отрезками ее диагоналей, | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Рассмотрим трапецию $ABCD$, у которой диагонали $AC$ и $BD$ | ||
+ | пересекаются в точке $O$. | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$. | ||
+ | |||
+ | У этих треугольников общее основание $AD$, кроме того их | ||
+ | высоты, | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | |||
+ | Но тогда $S_{\triangle AOB}=S_{\triangle ABD}-S_{\triangle AOD}=S_{\triangle ACD}-S_{\triangle AOD}=S_{\triangle COD}$. | ||
math-public/ploshchadi_razlichnyh_mnogougolnikov.txt · Последнее изменение: 2016/04/14 00:12 — labreslav