Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:ploshchadi_razlichnyh_mnogougolnikov [2016/04/14 00:12] – [Доказательство] labreslav
+++ math-public:ploshchadi_razlichnyh_mnogougolnikov [2016/04/14 00:12] (текущий) – [Доказательство] labreslav
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+======Площади различных многоугольников======
+=====Площадь прямоугольника=====
+Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.
+{{:math-public:041.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+Рассмотрим прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB=a$ и $BC=b$.
+Докажем, что его площадь $S=ab$.
+Достроим прямоугольник $ABCD$ до квадрата $AEGK$, продлив прямую $AD$ за
+точку $D$ на отрезок $DE=a$, и прямую $AB$ за точку $B$ на отрезок
+$BK=b$.
+Тогда $BCHK$ и $CFED$ -- это квадраты, и их площади равны
+соответственно $b^2$ и $a^2$.
+Кроме того, $CFGH$ -- это прямоугольник со сторонами $a$ и $b$, следовательно, его площадь
+равна площади $ABCD$.
+Обозначим площадь $ABCD$ за $S$.
+Тогда
+$S_{AEGK}=S_{BCHK}+S_{CFED}+2S=a^2+b^2+2S$.
+С другой стороны
+$S_{AEGK}=(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$.
+Откуда получаем, что $2ab=2S$, то
+есть $S=ab$.
+=====Площадь прямоугольного треугольника=====
+Площадь прямоугольного треугольника равна полупроизведению его катетов.
+{{:math-public:042.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC$, в котором $BC=a, AC=b$ и $\a C=90^\circ$.
+Докажем, что $S_{\triangle ABC}=\dfrac{ab}{2}$.
+Достроим треугольник $\triangle ABC$ до прямоугольника $ADBC$.
+Тогда
+$S_{ADBC}=ab=2S_{\triangle ABC}$.
+Следовательно, $S_{\triangle ABC}=\dfrac{ab}{2}$.
+=====Площадь треугольника=====
+Площадь треугольника равна половине произведения любой из его сторон
+и проведенной к ней высоты.
+{{:math-public:046a.jpg?direct&150|}}
+{{:math-public:046b.jpg?direct&150|}}
+{{:math-public:046c.jpg?direct&150|}}
+====Доказательство====
+Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором $BH$ -- это высота.
+Докажем, что $S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot BH\cdot AC.$
+Возможны три случая:
+  - точка $H$ совпадает с одним из концов отрезка $AC$, например с точкой $C$;
+  - точка $H$ принадлежит отрезку $AC$ и не совпадает с его концами;
+  - точка $H$ лежит за пределами отрезка $AH$.
+===Первый случай===
+Пусть высота из точки $B$ падает в один из
+концов отрезка $AC$, например в вершину $C$.
+Тогда $BC=BH$ и $\triangle ABC$ -- прямоугольный, следовательно, по
+теореме получаем $S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot BH\cdot AC$.
+===Второй случай===
+Пусть высота $BH$ падает внутрь отрезка $AC$.
+Тогда высота $BH$ разбивает треугольник $ABC$ на два прямоугольных треугольника $ABH$ и $BHC$,
+следовательно, $S_{ABC}=S_{ABH}+S_{BHC}=\dfrac{1}{2}\cdot BH\cdot
+AH+\dfrac{1}{2}\cdot BH\cdot HC=\dfrac{1}{2}\cdot BH\cdot
+(AH+HC)=\frac{1}{2}\cdot BH\cdot AC$.
+===Третий случай===
+Пусть высота $BH$ падает вне отрезка $AC$, например за точку $C$.
+Тогда
+$S_{ABC}=S_{ABH}-S_{BCH}=\dfrac{1}{2}\cdot BH\cdot
+AH-\dfrac{1}{2}\cdot BH\cdot CH=\dfrac{1}{2}\cdot BH\cdot
+(AH-CH)=\dfrac{1}{2}\cdot BH\cdot AC$.
+=====Площадь параллелограмма=====
+Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту,
+проведенную к этой стороне.
+{{:math-public:043.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+Рассмотрим параллелограмм $ABCD$, в котором сторона $AD=a$ и высота $BH=h$.
+Докажем, что $S_{ABCD}=ah$.
+Проведем диагональ $AC$.
+По свойствам параллелограмма, диагональ делит его на два равных треугольника.
+Следовательно, $S_{\triangle ABC}=S_{ADC}=\dfrac{1}{2}\cdot ah$.
+Тогда $S_{ABCD}=2S_{ACD}=ah$.
+=====Площадь трапеции=====
+Площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму ее
+оснований.
+{{:math-public:044.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+Рассмотрим трапецию $ABCD$, в которой $BH=h$ -- высота, и основания $AD=a, BC=b$.
+Докажем, что $S_{ABCD}=h\cdot\dfrac{a+b}{2}$.
+Проведем диагональ $AC$.
+Тогда $S_{\triangle ABD}=\dfrac{1}{2}\cdot ah$, $S_{\triangle BCD}=\dfrac{1}{2} ah$, поскольку высоты этих треугольников, проведенные к сторонам $AD$ и $BC$ соответственно, равны высоте
+трапеции.
+Тогда $S_{ABCD}=S_{ABD}+S_{BCD}=\dfrac{1}{2}(ah+bh)=h\cdot\dfrac{a+b}{2}$.
+=====Площадь ромба=====
+Площадь ромба равна полупроизведению его диагоналей.
+{{:math-public:045.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+Рассмотрим ромб $ABCD$, в котором диагонали $AC=d_1$ и $BD=d_2$.
+Докажем, что $S_{ABCD}=\dfrac{1}{2}\cdot d_1d_2$.
+Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.
+Диагонали разбивают ромб на четыре равных треугольника $\triangle ABO,
+\triangle BCO, \triangle CDO, \triangle DAO$.
+Следовательно, $S_{ABCD}=4S_{ABO}=4\cdot\dfrac{1}{2}\dfrac{d_1}{2}\dfrac{d_2}{2}=\dfrac{1}{2}\cdot
+d_1d_2$.
+=====Теорема (о площади четырехугольника с перпендикулярными диагоналями)=====
+Площадь выпуклого четырехугольника со взаимно перпендикулярными диагоналями равна полупроизведению его диагоналей.
+{{:math-public:2_046.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+Рассмотрим четырехугольник $ABCD$ в котором $AC\perp BD$.
+Пусть $AC$ пересекает $BD$ в точке $O$.
+Обозначим $BO=a, CO=b, DO=c, AO=d$.
+Тогда
+$S_{ABCD}=S_{AOB}+S_{BOC}+S_{COD}+S_{AOD}=\dfrac{1}{2}ad+\dfrac{1}{2}ab+\dfrac{1}{2}bc+\dfrac{1}{2}cd=\dfrac{1}{2}(a(b+d)+c(b+d))=\dfrac{1}{2}(a+c)(b+d)=\dfrac{1}{2}AC\cdot BD$
+=====Теорема (о площадях боковых треугольников в трапеции)=====
+Два треугольника, образованные боковыми сторонами трапеции и
+отрезками ее диагоналей, равны по площади.
+{{:math-public:028.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+Рассмотрим трапецию $ABCD$, у которой диагонали $AC$ и $BD$
+пересекаются в точке $O$.
+Докажем, что $S_{\triangle AOB}=S_{\triangle COD}$.
+Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$.
+У этих треугольников общее основание $AD$, кроме того их
+высоты, проведенные к стороне $AD$ из точек $B$ и $C$ соответственно, тоже равны.
+Следовательно, $S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ACD}$.
+Но тогда $S_{\triangle AOB}=S_{\triangle ABD}-S_{\triangle AOD}=S_{\triangle ACD}-S_{\triangle AOD}=S_{\triangle COD}$.