Инструменты пользователя

Инструменты сайта


math-public:ploshchadi_razlichnyh_mnogougolnikov

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
math-public:ploshchadi_razlichnyh_mnogougolnikov [2016/04/14 00:12]
labreslav [Доказательство]
math-public:ploshchadi_razlichnyh_mnogougolnikov [2016/04/14 00:12] (текущий)
labreslav [Доказательство]
Строка 1: Строка 1:
 +======Площади различных многоугольников======
 +=====Площадь прямоугольника=====
 +Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.
 +
 +{{:​math-public:​041.jpg?​direct&​300|}}
 +
 +====Доказательство====
 +Рассмотрим прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB=a$ и $BC=b$.
 +
 +Докажем,​ что его площадь $S=ab$.
 +
 +Достроим прямоугольник $ABCD$ до квадрата $AEGK$, продлив прямую $AD$ за
 +точку $D$ на отрезок $DE=a$, и прямую $AB$ за точку $B$ на отрезок
 +$BK=b$.
 +
 +Тогда $BCHK$ и $CFED$ -- это квадраты,​ и их площади равны
 +соответственно $b^2$ и $a^2$.
 +
 +Кроме того, $CFGH$ -- это прямоугольник со сторонами $a$ и $b$, следовательно,​ его площадь
 +равна площади $ABCD$.
 +
 +Обозначим площадь $ABCD$ за $S$.
 +
 +Тогда
 +$S_{AEGK}=S_{BCHK}+S_{CFED}+2S=a^2+b^2+2S$.
 +
 +С другой стороны
 +$S_{AEGK}=(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$.
 +
 +Откуда получаем,​ что $2ab=2S$, то
 +есть $S=ab$.
 +
 +
 +=====Площадь прямоугольного треугольника=====
 +Площадь прямоугольного треугольника равна полупроизведению его катетов.
 +
 +{{:​math-public:​042.jpg?​direct&​300|}}
 +
 +====Доказательство====
 +Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC$, в котором $BC=a, AC=b$ и $\a C=90^\circ$. ​
 +
 +Докажем,​ что $S_{\triangle ABC}=\dfrac{ab}{2}$.
 +
 +Достроим треугольник $\triangle ABC$ до прямоугольника $ADBC$.
 +
 +Тогда
 +$S_{ADBC}=ab=2S_{\triangle ABC}$.
 +
 +Следовательно,​ $S_{\triangle ABC}=\dfrac{ab}{2}$.
 +
 +=====Площадь треугольника=====
 +Площадь треугольника равна половине произведения любой из его сторон
 +и проведенной к ней высоты.
 +
 +{{:​math-public:​046a.jpg?​direct&​150|}}
 +{{:​math-public:​046b.jpg?​direct&​150|}}
 +{{:​math-public:​046c.jpg?​direct&​150|}}
 +
 +====Доказательство====
 +Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором $BH$ -- это высота.
 +
 +Докажем,​ что $S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot BH\cdot AC.$
 +
 +Возможны три случая:​
 +  - точка $H$ совпадает с одним из концов отрезка $AC$, например с точкой $C$;
 +  - точка $H$ принадлежит отрезку $AC$ и не совпадает с его концами;​
 +  - точка $H$ лежит за пределами отрезка $AH$.
 +
 +===Первый случай===
 +Пусть высота из точки $B$ падает в один из
 +концов отрезка $AC$, например в вершину $C$.
 +
 +Тогда $BC=BH$ и $\triangle ABC$ -- прямоугольный,​ следовательно,​ по
 +теореме получаем $S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot BH\cdot AC$.
 +
 +===Второй случай===
 +Пусть высота $BH$ падает внутрь отрезка $AC$.
 +
 +Тогда высота $BH$ разбивает треугольник $ABC$ на два прямоугольных треугольника $ABH$ и $BHC$,
 +следовательно,​ $S_{ABC}=S_{ABH}+S_{BHC}=\dfrac{1}{2}\cdot BH\cdot
 +AH+\dfrac{1}{2}\cdot BH\cdot HC=\dfrac{1}{2}\cdot BH\cdot
 +(AH+HC)=\frac{1}{2}\cdot BH\cdot AC$.
 +
 +===Третий случай===
 +Пусть высота $BH$ падает вне отрезка $AC$, например за точку $C$.
 +
 +Тогда
 +
 +$S_{ABC}=S_{ABH}-S_{BCH}=\dfrac{1}{2}\cdot BH\cdot
 +AH-\dfrac{1}{2}\cdot BH\cdot CH=\dfrac{1}{2}\cdot BH\cdot
 +(AH-CH)=\dfrac{1}{2}\cdot BH\cdot AC$.
 +
 +=====Площадь параллелограмма=====
 +Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту,​
 +проведенную к этой стороне.
 +
 +{{:​math-public:​043.jpg?​direct&​300|}}
 +
 +====Доказательство====
 +Рассмотрим параллелограмм $ABCD$, в котором сторона $AD=a$ и высота $BH=h$.
 +
 +Докажем,​ что $S_{ABCD}=ah$.
 +
 +Проведем диагональ $AC$.
 +
 +По свойствам параллелограмма,​ диагональ делит его на два равных треугольника.
 +
 +Следовательно,​ $S_{\triangle ABC}=S_{ADC}=\dfrac{1}{2}\cdot ah$.
 +
 +Тогда $S_{ABCD}=2S_{ACD}=ah$.
 +
 +=====Площадь трапеции=====
 +Площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму ее
 +оснований.
 +
 +{{:​math-public:​044.jpg?​direct&​300|}}
 +
 +====Доказательство====
 +Рассмотрим трапецию $ABCD$, в которой $BH=h$ -- высота,​ и основания $AD=a, BC=b$.
 +
 +Докажем,​ что $S_{ABCD}=h\cdot\dfrac{a+b}{2}$.
 +
 +Проведем диагональ $AC$.
 +
 +Тогда $S_{\triangle ABD}=\dfrac{1}{2}\cdot ah$, $S_{\triangle BCD}=\dfrac{1}{2} ah$, поскольку высоты этих треугольников,​ проведенные к сторонам $AD$ и $BC$ соответственно,​ равны высоте
 +трапеции.
 +
 +Тогда $S_{ABCD}=S_{ABD}+S_{BCD}=\dfrac{1}{2}(ah+bh)=h\cdot\dfrac{a+b}{2}$.
 +
 +=====Площадь ромба=====
 +Площадь ромба равна полупроизведению его диагоналей.
 +
 +{{:​math-public:​045.jpg?​direct&​300|}}
 +
 +====Доказательство====
 +Рассмотрим ромб $ABCD$, в котором диагонали $AC=d_1$ и $BD=d_2$.
 +
 +Докажем,​ что $S_{ABCD}=\dfrac{1}{2}\cdot d_1d_2$.
 +
 +Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.
 +
 +Диагонали разбивают ромб на четыре равных треугольника $\triangle ABO,
 +\triangle BCO, \triangle CDO, \triangle DAO$.
 +
 +Следовательно,​ $S_{ABCD}=4S_{ABO}=4\cdot\dfrac{1}{2}\dfrac{d_1}{2}\dfrac{d_2}{2}=\dfrac{1}{2}\cdot
 +d_1d_2$.
 +
 +=====Теорема (о площади четырехугольника с перпендикулярными диагоналями)=====
 +Площадь выпуклого четырехугольника со взаимно перпендикулярными диагоналями равна полупроизведению его диагоналей.
 +
 +{{:​math-public:​2_046.jpg?​direct&​300|}}
 +
 +====Доказательство====
 +Рассмотрим четырехугольник $ABCD$ в котором $AC\perp BD$.
 +
 +Пусть $AC$ пересекает $BD$ в точке $O$.
 +
 +Обозначим $BO=a, CO=b, DO=c, AO=d$.
 +
 +Тогда
 +
 +$S_{ABCD}=S_{AOB}+S_{BOC}+S_{COD}+S_{AOD}=\dfrac{1}{2}ad+\dfrac{1}{2}ab+\dfrac{1}{2}bc+\dfrac{1}{2}cd=\dfrac{1}{2}(a(b+d)+c(b+d))=\dfrac{1}{2}(a+c)(b+d)=\dfrac{1}{2}AC\cdot BD$
 +
 +=====Теорема (о площадях боковых треугольников в трапеции)=====
 +Два треугольника,​ образованные боковыми сторонами трапеции и
 +отрезками ее диагоналей,​ равны по площади.
 +
 +{{:​math-public:​028.jpg?​direct&​300|}}
 +
 +====Доказательство====
 +Рассмотрим трапецию $ABCD$, у которой диагонали $AC$ и $BD$
 +пересекаются в точке $O$.
 +
 +Докажем,​ что $S_{\triangle AOB}=S_{\triangle COD}$.
 +
 +Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$.
 +
 +У этих треугольников общее основание $AD$, кроме того их
 +высоты,​ проведенные к стороне $AD$ из точек $B$ и $C$ соответственно,​ тоже равны. ​
 +
 +Следовательно,​ $S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ACD}$.
 +
 +Но тогда $S_{\triangle AOB}=S_{\triangle ABD}-S_{\triangle AOD}=S_{\triangle ACD}-S_{\triangle AOD}=S_{\triangle COD}$.
  
math-public/ploshchadi_razlichnyh_mnogougolnikov.txt · Последние изменения: 2016/04/14 00:12 — labreslav