Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:pravilnye-mnogougolniki-mnogougolniki [2016/05/05 11:56] – создано labreslav
+++ math-public:pravilnye-mnogougolniki-mnogougolniki [2019/04/10 20:02] (текущий) – [Теорема] labreslav
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+=======Правильные многоугольники=======
+=====Определение=====
+Многоугольник называется правильным, если все его стороны равны и
+все его углы равны.
+=====Теорема о центре правильного многоугольника=====
+В каждом правильном многоугольнике есть точка, равноудаленная от
+всех его сторон и от всех его вершин.
+{{:math-public:2_300.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+Рассмотрим правильный многоугольник.
+Проведем в нём биссектрисы углов $A$ и $B$.
+Пусть они пересекаются в точке $O$.
+Докажем, что биссектрисы остальных углов данного многоугольника тоже проходят через точку $O$.
+Так как $OA$ и $OB$ -- это биссектрисы, а углы правильного многоугольника равны, то
+$\angle 1=\angle 2=\angle 3=\angle 4=\frac{1}{2}\angle A$.
+Следовательно, треугольник $\triangle AOB$ равнобедренный, то есть $OA=OB$.
+Кроме того $\triangle AOB=\triangle BOC$ по первому признаку равенства ($OA=OB, AB=BC, \angle 2=\angle 4$).
+Следовательно, $OB=OC$ и $\angle 5=\angle 3=\frac{1}{2}\angle A$.
+Таким образом $OC$ является биссектрисой угла $C$, а точка $O$
+равноудалена от вершин $A, B$ и $C$.
+Аналогичные рассуждение теперь можно провести для вершины $D$, и потом по очереди для всех других
+вершин многоугольника.
+Таким образом точка $O$ равноудалена от всех вершин многоугольника, в силу равенства треугольников.
+Кроме того точка $O$ равноудалена от  всех сторон многоугольника, так как это точка пересечение биссектрис.
+=====Следствие=====
+Для любого правильного многоугольника существует вписанная и
+описанная окружность, причём их центры совпадают. Вписанная и
+описанная окружность для правильного многоугольника единственны.
+====Доказательство====
+Существование и совпадение центров вписанной и описанной окружности
+непосредственно следуют из теоремы.
+Докажем единственность.
+Рассмотрим какие-нибудь три вершины многоугольника, например $A, B, C$.
+Так как через эти точки проходит только одна окружность, то около многоугольника можно описать только одну
+окружность.
+Теперь предположим, что в правильный многоугольник можно вписать окружность с центром $O$ и радиусом $OM$ и другую
+окружность с центром $O_1$ и радиусом $O_1M_1$.
+Тогда центр $O_1$ равноудалён от всех сторон многоугольника, следовательно, точка
+$O_1$ лежит на каждой из биссектрис углов многоугольника и,
+следовательно, совпадает с точкой $O$ пересечения этих биссектрис.
+Радиус окружности $O_1M_1$ равен расстоянию от точки $O$ до сторон многоугольника, то есть $OM$.
+Таким образом вторая окружность совпадает с первой.
+=====Следствие=====
+Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон
+многоугольника в их серединах.
+====Доказательство====
+Утверждение следует из того, что радиус вписанной окружности
+является высотой равнобедренного треугольника $AOB$.
+=====Теорема=====
+Пусть $\alpha$ -- это угол правильного $n$-угольника, а $\beta$ --
+угол между радиусами описанной окружности, проведёнными  к соседним
+вершинам. Тогда выполняются следующие соотношения
+  - $\alpha=\frac{180^\circ(n-2)}{n},\ \beta=\frac{360^\circ}{n}$.\\
+  - $a=2r\tg{\frac{\beta}{2}}=2r\ctg{\frac{\alpha}{2}}$.\\
+  - $a=2R\sin{\frac{\beta}{2}}=2R\cos{\frac{\alpha}{2}}$.\\
+  - $r=R\cos{\frac{\beta}{2}}=R\sin{\frac{\alpha}{2}}$.\\
+  - $S=pr=\frac{1}{2}nR^2\sin{\beta}$.\\
+{{:math-public:116.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+===Докажем первое соотношение===
+По теореме сумма углов $n$-угольника равна $180^\circ(n-2)$, следовательно, каждый угол будет равен $\alpha=\dfrac{180^\circ(n-2)}{n}$.
+Кроме того, полный угол $O$ разделён радиусами, проведёнными к вершинам многоугольника, на $n$ частей, следовательно, $\beta=\dfrac{360^\circ}{n}$.
+===Докажем второе соотношение===
+Проведем высоту $OM$ треугольника $AOB$.
+Так как треугольник $AOB$ равнобедренный, то $\angle AOM=\dfrac{\beta}{2}$, $AM=\dfrac{a}{2}$.
+Кроме того, $\angle OAM=\dfrac{\alpha}{2}$.
+Из треугольника $AOM$ получаем $a=2r\tg{\dfrac{\beta}{2}}=2r\ctg{\dfrac{\alpha}{2}}$.
+===Докажем третье соотношение===
+$\sin{\dfrac{\beta}{2}}=\cos{\dfrac{\alpha}{2}}=\dfrac{\frac{a}{2}}{R}$, следовательно, $a=2R\sin{\dfrac{\beta}{2}}=2R\cos{\dfrac{\alpha}{2}}$.
+===Докажем четвертое соотношение===
+$\tg{\dfrac{\beta}{2}}=\ctg{\dfrac{\alpha}{2}}=\dfrac{\dfrac{a}{2}}{r}$, следовательно,
+$\cos{\dfrac{\beta}{2}}=\sin{\dfrac{\alpha}{2}}=\dfrac{r}{R}$, следовательно, $r=R\cos{\dfrac{\beta}{2}}=R\sin{\dfrac{\alpha}{2}}$.
+===Докажем пятое соотношение===
+Известно, что $S=pr$ для любого описанного многоугольника, в том числе и для правильного. C другой стороны $S=n\cdot S_{AOB}=n\cdot\dfrac{1}{2}R^2\sin{\beta}$.
+=====Следствие=====
+Периметры правильных $n$-угольников относятся как радиусы описанных
+около них окружностей.
+====Доказательство====
+Рассмотрим два правильных $n$-угольника со сторонами $a_n$ и $a'_n$
+соответственно.
+Используя формулы выпишем периметры $P_n$ и $P'_n$ данных многоугольников: $P_n=n\cdot a_n=n\cdot 2R\sin{\dfrac{180^\circ}{n}}, P'_n=n\cdot a'_n=n\cdot 2R'\sin{\dfrac{180^\circ}{n}}$.
+Следовательно, $\dfrac{P_n}{P'_n}=\dfrac{2R}{2R'}=\dfrac{R}{R'}$.