Президентский ФМЛ №239

Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно.
=======Правильные многоугольники=======
=====Определение=====
Многоугольник называется правильным, если все его стороны равны и
все его углы равны.

=====Теорема о центре правильного многоугольника=====
В каждом правильном многоугольнике есть точка, равноудаленная от
всех его сторон и от всех его вершин.

{{:math-public:2_300.jpg?direct&300|}} 
====Доказательство====
Рассмотрим правильный многоугольник.

Проведем в нём биссектрисы углов $A$ и $B$.

Пусть они пересекаются в точке $O$.

Докажем, что биссектрисы остальных углов данного многоугольника тоже проходят через точку $O$.

Так как $OA$ и $OB$ -- это биссектрисы, а углы правильного многоугольника равны, то
$\angle 1=\angle 2=\angle 3=\angle 4=\frac{1}{2}\angle A$.

Следовательно, треугольник $\triangle AOB$ равнобедренный, то есть $OA=OB$.

Кроме того $\triangle AOB=\triangle BOC$ по первому признаку равенства ($OA=OB, AB=BC, \angle 2=\angle 4$).

Следовательно, $OB=OC$ и $\angle 5=\angle 3=\frac{1}{2}\angle A$.

Таким образом $OC$ является биссектрисой угла $C$, а точка $O$
равноудалена от вершин $A, B$ и $C$.

Аналогичные рассуждение теперь можно провести для вершины $D$, и потом по очереди для всех других
вершин многоугольника.

Таким образом точка $O$ равноудалена от всех вершин многоугольника, в силу равенства треугольников.

Кроме того точка $O$ равноудалена от  всех сторон многоугольника, так как это точка пересечение биссектрис.

=====Следствие=====
Для любого правильного многоугольника существует вписанная и
описанная окружность, причём их центры совпадают. Вписанная и
описанная окружность для правильного многоугольника единственны.

====Доказательство====
Существование и совпадение центров вписанной и описанной окружности
непосредственно следуют из теоремы.

Докажем единственность.

Рассмотрим какие-нибудь три вершины многоугольника, например $A, B, C$.

Так как через эти точки проходит только одна окружность, то около многоугольника можно описать только одну
окружность.

Теперь предположим, что в правильный многоугольник можно вписать окружность с центром $O$ и радиусом $OM$ и другую
окружность с центром $O_1$ и радиусом $O_1M_1$. 

Тогда центр $O_1$ равноудалён от всех сторон многоугольника, следовательно, точка
$O_1$ лежит на каждой из биссектрис углов многоугольника и,
следовательно, совпадает с точкой $O$ пересечения этих биссектрис.

Радиус окружности $O_1M_1$ равен расстоянию от точки $O$ до сторон многоугольника, то есть $OM$.

Таким образом вторая окружность совпадает с первой.

=====Следствие=====
Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон
многоугольника в их серединах.

====Доказательство====
Утверждение следует из того, что радиус вписанной окружности
является высотой равнобедренного треугольника $AOB$.

=====Теорема=====
Пусть $\alpha$ -- это угол правильного $n$-угольника, а $\beta$ --
угол между радиусами описанной окружности, проведёнными  к соседним
вершинам. Тогда выполняются следующие соотношения

  - $\alpha=\frac{180^\circ(n-2)}{n},\ \beta=\frac{360^\circ}{n}$.\\
  - $a=2r\tg{\frac{\beta}{2}}=2r\ctg{\frac{\alpha}{2}}$.\\
  - $a=2R\sin{\frac{\beta}{2}}=2R\cos{\frac{\alpha}{2}}$.\\
  - $r=R\cos{\frac{\beta}{2}}=R\sin{\frac{\alpha}{2}}$.\\
  - $S=pr=\frac{1}{2}nR^2\sin{\beta}$.\\

{{:math-public:116.jpg?direct&300|}}

====Доказательство====
===Докажем первое соотношение===
По теореме сумма углов $n$-угольника равна $180^\circ(n-2)$, следовательно, каждый угол будет равен $\alpha=\dfrac{180^\circ(n-2)}{n}$.
  
Кроме того, полный угол $O$ разделён радиусами, проведёнными к вершинам многоугольника, на $n$ частей, следовательно, $\beta=\dfrac{360^\circ}{n}$.
  
===Докажем второе соотношение===  
Проведем высоту $OM$ треугольника $AOB$.

Так как треугольник $AOB$ равнобедренный, то $\angle AOM=\dfrac{\beta}{2}$, $AM=\dfrac{a}{2}$.

Кроме того, $\angle OAM=\dfrac{\alpha}{2}$.

Из треугольника $AOM$ получаем $a=2r\tg{\dfrac{\beta}{2}}=2r\ctg{\dfrac{\alpha}{2}}$.

===Докажем третье соотношение===
$\sin{\dfrac{\beta}{2}}=\cos{\dfrac{\alpha}{2}}=\dfrac{\frac{a}{2}}{R}$, следовательно, $a=2R\sin{\dfrac{\beta}{2}}=2R\cos{\dfrac{\alpha}{2}}$.


===Докажем четвертое соотношение===
$\tg{\dfrac{\beta}{2}}=\ctg{\dfrac{\alpha}{2}}=\dfrac{\dfrac{a}{2}}{r}$, следовательно,


$\cos{\dfrac{\beta}{2}}=\sin{\dfrac{\alpha}{2}}=\dfrac{r}{R}$, следовательно, $r=R\cos{\dfrac{\beta}{2}}=R\sin{\dfrac{\alpha}{2}}$.

===Докажем пятое соотношение===
Известно, что $S=pr$ для любого описанного многоугольника, в том числе и для правильного. C другой стороны $S=n\cdot S_{AOB}=n\cdot\dfrac{1}{2}R^2\sin{\beta}$.


=====Следствие=====
Периметры правильных $n$-угольников относятся как радиусы описанных
около них окружностей.

====Доказательство====
Рассмотрим два правильных $n$-угольника со сторонами $a_n$ и $a'_n$
соответственно.

Используя формулы выпишем периметры $P_n$ и $P'_n$ данных многоугольников: $P_n=n\cdot a_n=n\cdot 2R\sin{\dfrac{180^\circ}{n}}, P'_n=n\cdot a'_n=n\cdot 2R'\sin{\dfrac{180^\circ}{n}}$.

Следовательно, $\dfrac{P_n}{P'_n}=\dfrac{2R}{2R'}=\dfrac{R}{R'}$.