Правильные многоугольники

Определение

Многоугольник называется правильным, если все его стороны равны и все его углы равны.

Теорема о центре правильного многоугольника

В каждом правильном многоугольнике есть точка, равноудаленная от всех его сторон и от всех его вершин.

Доказательство

Рассмотрим правильный многоугольник.

Проведем в нём биссектрисы углов и .

Пусть они пересекаются в точке .

Докажем, что биссектрисы остальных углов данного многоугольника тоже проходят через точку .

Так как и – это биссектрисы, а углы правильного многоугольника равны, то .

Следовательно, треугольник равнобедренный, то есть .

Кроме того по первому признаку равенства ().

Следовательно, и .

Таким образом является биссектрисой угла , а точка равноудалена от вершин и .

Аналогичные рассуждение теперь можно провести для вершины , и потом по очереди для всех других вершин многоугольника.

Таким образом точка равноудалена от всех вершин многоугольника, в силу равенства треугольников.

Кроме того точка равноудалена от всех сторон многоугольника, так как это точка пересечение биссектрис.

Следствие

Для любого правильного многоугольника существует вписанная и описанная окружность, причём их центры совпадают. Вписанная и описанная окружность для правильного многоугольника единственны.

Доказательство

Существование и совпадение центров вписанной и описанной окружности непосредственно следуют из теоремы.

Докажем единственность.

Рассмотрим какие-нибудь три вершины многоугольника, например .

Так как через эти точки проходит только одна окружность, то около многоугольника можно описать только одну окружность.

Теперь предположим, что в правильный многоугольник можно вписать окружность с центром и радиусом и другую окружность с центром и радиусом .

Тогда центр равноудалён от всех сторон многоугольника, следовательно, точка лежит на каждой из биссектрис углов многоугольника и, следовательно, совпадает с точкой пересечения этих биссектрис.

Радиус окружности равен расстоянию от точки до сторон многоугольника, то есть .

Таким образом вторая окружность совпадает с первой.

Следствие

Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах.

Доказательство

Утверждение следует из того, что радиус вписанной окружности является высотой равнобедренного треугольника .

Теорема

Пусть – это угол правильного -угольника, а – угол между радиусами описанной окружности, проведёнными к соседним вершинам. Тогда выполняются следующие соотношения

.

.

.

.

.

Доказательство

Докажем первое соотношение

По теореме сумма углов -угольника равна , следовательно, каждый угол будет равен .

Кроме того, полный угол разделён радиусами, проведёнными к вершинам многоугольника, на частей, следовательно, .

Докажем второе соотношение

Проведем высоту треугольника .

Так как треугольник равнобедренный, то , .

Кроме того, .

Из треугольника получаем .

Докажем третье соотношение

, следовательно, .

Докажем четвертое соотношение

, следовательно,

, следовательно, .

Докажем пятое соотношение

Известно, что для любого описанного многоугольника, в том числе и для правильного. C другой стороны .

Следствие

Периметры правильных -угольников относятся как радиусы описанных около них окружностей.

Доказательство

Рассмотрим два правильных -угольника со сторонами и соответственно.

Используя формулы выпишем периметры и данных многоугольников: .

Следовательно, .