math-public:pravilnye-mnogougolniki-mnogougolniki
Различия
Показаны различия между двумя версиями страницы.
Предыдущая версия справа и слеваПредыдущая версияСледующая версия | Предыдущая версия | ||
math-public:pravilnye-mnogougolniki-mnogougolniki [2016/05/09 10:50] – [Теорема] labreslav | math-public:pravilnye-mnogougolniki-mnogougolniki [2019/04/10 20:02] (текущий) – [Теорема] labreslav | ||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | =======Правильные многоугольники======= | ||
+ | =====Определение===== | ||
+ | Многоугольник называется правильным, | ||
+ | все его углы равны. | ||
+ | =====Теорема о центре правильного многоугольника===== | ||
+ | В каждом правильном многоугольнике есть точка, равноудаленная от | ||
+ | всех его сторон и от всех его вершин. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Рассмотрим правильный многоугольник. | ||
+ | |||
+ | Проведем в нём биссектрисы углов $A$ и $B$. | ||
+ | |||
+ | Пусть они пересекаются в точке $O$. | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Так как $OA$ и $OB$ -- это биссектрисы, | ||
+ | $\angle 1=\angle 2=\angle 3=\angle 4=\frac{1}{2}\angle A$. | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | |||
+ | Кроме того $\triangle AOB=\triangle BOC$ по первому признаку равенства ($OA=OB, AB=BC, \angle 2=\angle 4$). | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | |||
+ | Таким образом $OC$ является биссектрисой угла $C$, а точка $O$ | ||
+ | равноудалена от вершин $A, B$ и $C$. | ||
+ | |||
+ | Аналогичные рассуждение теперь можно провести для вершины $D$, и потом по очереди для всех других | ||
+ | вершин многоугольника. | ||
+ | |||
+ | Таким образом точка $O$ равноудалена от всех вершин многоугольника, | ||
+ | |||
+ | Кроме того точка $O$ равноудалена от всех сторон многоугольника, | ||
+ | |||
+ | =====Следствие===== | ||
+ | Для любого правильного многоугольника существует вписанная и | ||
+ | описанная окружность, | ||
+ | описанная окружность для правильного многоугольника единственны. | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Существование и совпадение центров вписанной и описанной окружности | ||
+ | непосредственно следуют из теоремы. | ||
+ | |||
+ | Докажем единственность. | ||
+ | |||
+ | Рассмотрим какие-нибудь три вершины многоугольника, | ||
+ | |||
+ | Так как через эти точки проходит только одна окружность, | ||
+ | окружность. | ||
+ | |||
+ | Теперь предположим, | ||
+ | окружность с центром $O_1$ и радиусом $O_1M_1$. | ||
+ | |||
+ | Тогда центр $O_1$ равноудалён от всех сторон многоугольника, | ||
+ | $O_1$ лежит на каждой из биссектрис углов многоугольника и, | ||
+ | следовательно, | ||
+ | |||
+ | Радиус окружности $O_1M_1$ равен расстоянию от точки $O$ до сторон многоугольника, | ||
+ | |||
+ | Таким образом вторая окружность совпадает с первой. | ||
+ | |||
+ | =====Следствие===== | ||
+ | Окружность, | ||
+ | многоугольника в их серединах. | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Утверждение следует из того, что радиус вписанной окружности | ||
+ | является высотой равнобедренного треугольника $AOB$. | ||
+ | |||
+ | =====Теорема===== | ||
+ | Пусть $\alpha$ -- это угол правильного $n$-угольника, | ||
+ | угол между радиусами описанной окружности, | ||
+ | вершинам. Тогда выполняются следующие соотношения | ||
+ | |||
+ | - $\alpha=\frac{180^\circ(n-2)}{n}, | ||
+ | - $a=2r\tg{\frac{\beta}{2}}=2r\ctg{\frac{\alpha}{2}}$.\\ | ||
+ | - $a=2R\sin{\frac{\beta}{2}}=2R\cos{\frac{\alpha}{2}}$.\\ | ||
+ | - $r=R\cos{\frac{\beta}{2}}=R\sin{\frac{\alpha}{2}}$.\\ | ||
+ | - $S=pr=\frac{1}{2}nR^2\sin{\beta}$.\\ | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | ===Докажем первое соотношение=== | ||
+ | По теореме сумма углов $n$-угольника равна $180^\circ(n-2)$, | ||
+ | | ||
+ | Кроме того, полный угол $O$ разделён радиусами, | ||
+ | | ||
+ | ===Докажем второе соотношение=== | ||
+ | Проведем высоту $OM$ треугольника $AOB$. | ||
+ | |||
+ | Так как треугольник $AOB$ равнобедренный, | ||
+ | |||
+ | Кроме того, $\angle OAM=\dfrac{\alpha}{2}$. | ||
+ | |||
+ | Из треугольника $AOM$ получаем $a=2r\tg{\dfrac{\beta}{2}}=2r\ctg{\dfrac{\alpha}{2}}$. | ||
+ | |||
+ | ===Докажем третье соотношение=== | ||
+ | $\sin{\dfrac{\beta}{2}}=\cos{\dfrac{\alpha}{2}}=\dfrac{\frac{a}{2}}{R}$, | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===Докажем четвертое соотношение=== | ||
+ | $\tg{\dfrac{\beta}{2}}=\ctg{\dfrac{\alpha}{2}}=\dfrac{\dfrac{a}{2}}{r}$, | ||
+ | |||
+ | |||
+ | $\cos{\dfrac{\beta}{2}}=\sin{\dfrac{\alpha}{2}}=\dfrac{r}{R}$, | ||
+ | |||
+ | ===Докажем пятое соотношение=== | ||
+ | Известно, | ||
+ | |||
+ | |||
+ | =====Следствие===== | ||
+ | Периметры правильных $n$-угольников относятся как радиусы описанных | ||
+ | около них окружностей. | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Рассмотрим два правильных $n$-угольника со сторонами $a_n$ и $a'_n$ | ||
+ | соответственно. | ||
+ | |||
+ | Используя формулы выпишем периметры $P_n$ и $P'_n$ данных многоугольников: | ||
+ | |||
+ | Следовательно, |
math-public/pravilnye-mnogougolniki-mnogougolniki.1462780226.txt.bz2 · Последнее изменение: 2016/05/09 10:50 — labreslav