Президентский ФМЛ №239

Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно.

======Правильный треугольник======
=====Теорема=====
В правильном треугольнике верны следующие соотношения:
  - $\alpha=60^\circ$.
  - $S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
  - $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
  - $r=\frac{a\sqrt{3}}{6}$.
  - $R=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.
  - $R=2r$.

{{:math:118.jpg?direct&300|}}


====Доказательство====
  - $\alpha=\dfrac{180^\circ}{3}=60^\circ$.
  - $S=\dfrac{1}{2}a^2\sin{60^\circ}=\dfrac{1}{2}a^2\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
  - $h=\dfrac{2S}{a}=\dfrac{\dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}}{a}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
  - $r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}}{\dfrac{3a}{2}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$.
  - $R=\dfrac{a^3}{4S}=\dfrac{a^3}{a^2\sqrt{3}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
  - $R=2r$, в силу предыдущих двух пунктов.