Инструменты пользователя

Инструменты сайта


math-public:preobrazovaniya-ploskosti-dvizheniya

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

math-public:preobrazovaniya-ploskosti-dvizheniya [2016/05/05 11:39] (текущий)
labreslav создано
Строка 1: Строка 1:
 +=======Движения=======
 +=====Определение=====
 +Преобразование плоскости,​ которое сохраняет расстояние между точками,​ называется движением плоскости.
  
 +=====Свойства движений=====
 +
 +=====Свойство 1=====
 +Движение обратимо. Преобразование,​ обратное движению,​ является движением.
 +
 +====Доказательство====
 +Докажем сначала,​ что движение обратимо,​ то есть "не склеивает"​ точки.
 +
 +Пусть $X$ и $Y$ -- две различные точки, образы которых при движении $f$ совпадают,​ то есть $f(X)=f(Y)$.
 +
 +По определению движения $\rho(f(X), f(Y))=\rho(X,​Y)$.
 +
 +С одной стороны,​ $\rho(X, Y)\neq 0$, так как по условию $X\neq Y$.
 +
 +C другой стороны,​ $\rho(f(X), f(Y))=0$ в силу предположения.
 +
 +Полученное противоречие доказывает обратимость движения $f$.
 +
 +Докажем теперь,​ что преобразование обратное движению,​ является движением.
 +
 +Пусть $f$ -- заданное движение,​ $f^{-1}$ -- обратное к нему преобразование,​ а $X'$ и $Y'$ -- две точки плоскости,​ являющиеся образами точек $X$ и $Y$.
 +
 +По определению обратного преобразования $f^{-1}(X'​)=X,​ f^{-1}(Y'​)=Y$,​ при этом $X'​=f(X),​ Y'​=f(Y)$ и $X'​Y'​=XY$. ​
 +
 +Следовательно,​ $f^{-1}$ -- движение.
 +   
 +=====Свойство 2=====
 +Три точки, лежащие на одной прямой,​ при движении переходят в три точки лежащие на одной прямой,​ и три точки, не лежащие на одной прямой,​ -- в три точки не лежащие на одной прямой.
 +
 +====Доказательство====
 +Пусть движение переводит точки $A, B, C$ в точки $A', B', C'$.
 +
 +Тогда выполняются равенства $A'​B'​=AB,​ A'​C'​=AC,​ B'​C'​=BC$
 +
 +Если точки $A, B, C$ лежат на одной прямой,​ то одна из них, например точка $B$ лежит между двумя другими.
 +
 +В этом случае $AB+BC=AC,$ и из равенств \eqref{eq012} следует,​ что $A'​B'​+B'​C'​=A'​C'​$.
 +
 +А это равенство означает,​ что точка $B'$ лежит между точками $A'$ и $C'$.
 +
 +Первое утверждение доказано.
 +
 +Теперь пусть точки $A, B, C$ не лежат на одной прямой.
 +
 +По неравенство треугольника $AB+BC>​AC,​ AB+AC>​BC,​ AC+BC>​AB$.
 +
 +Из этих неравенств следует,​ что $A'​B'​+B'​C'>​A'​C',​ A'​B'​+A'​C'>​B'​C',​ A'​C'​+B'​C'>​A'​B'​$.
 +
 +Из этих неравенств следует,​ что точки $A', B', C'$ не лежат на одной прямой.
 +
 +=====Свойство 3=====  ​
 +Отрезок движением переводится в отрезок. Движение сохраняет отношение <<​лежать между>>​.
 + ​====Доказательство====
 +Пусть концам отрезка $AB$ движение $f$ сопоставляет точки $A'$ и $B'$.
 +
 +Возьмём любую точку $X$ отрезка $AB$. Тогда, $AX+XB=AB$, и, следовательно,​ $A'​X'​+X'​B'​=A'​B'​$.
 +
 +Тогда, точка $X'​=f(X)$ лежит между точками $A'$ и $B'$, то есть на отрезке $A'​B'​$.
 +
 +Далее, каждая точка $Y'$ отрезка $A'​B'​$ является образом некоторой точки $Y$ отрезка $AB$, а именно той точки $Y$, которая удалена от точки $A$ на расстояние $A'​Y'​$. Следовательно,​ отрезок $AB$ движением $f$ переводится в отрезок $A'​B'​$.
 +
 +Кроме того, эти рассуждения доказывают,​ что если точка $B$ лежит между точками $A$ и $C$, то $B'$ лежит между точками $A'$ и $C'$, то есть движение сохраняет отношение <<​лежать между>>​.
 + 
 +=====Свойство 4=====
 +При движении прямая в прямую,​ луч переходит в луч.
 +
 +====Доказательство====
 +
 +Пусть $A$ и $B$ -- произвольные точки данные прямой,​ $A'​B'​$ -- прямая,​ проведенная через образы точек $A$ и $B$ при движении $f$.
 +
 +Рассмотрим произвольную точку $C$ прямой $AB$.
 +
 +Точки $A', B', C'$, где $C'​=f(C)$,​ лежат на одной прямой,​ то есть на прямой $A'​B'​$.
 +
 +Аналогично в силу того, что $f^{-1}$ -- движение,​ для точки $D'$ прямой $A'​B'​$ существует точка $D$ прямой $AB$ такая, что $D'​=f(D)$.
 +
 +Поскольку при движении взаимное расположение точек сохраняется,​ то луч при движении переходит в луч.
 +   
 +=====Свойство 5=====
 +Треугольник движением переводится в треугольник.
 +
 +====Доказательство====
 +Три точки $A, B, C$, не лежащие на одной прямой,​ переходят при движении в точки $A', B', C'$ соответственно,​ не лежащие на одной прямой.
 +
 +Кроме того отрезки $AB, BC$ и $AC$ переходят в отрезки $A'​B',​ B'​C'​$ и $A'​C'​$.
 +
 +Таким образом,​ треугольник $ABC$ переходит в треугольник $A'​B'​C'​$.
 +
 +Причём $A'​B'​=AB,​ A'​C'​=AC,​ B'​C'​=BC$.
 +
 +Тогда по   ​третьему признаку равенства треугольников $\triangle ABC=\triangle A'​B'​C'​$.
 +
 +Кроме того треугольник $ABC$ заполняется отрезками,​ соединяющими вершину $A$ с точками $X$ противоположной стороны $BC$.
 +
 +Каждому отрезку $AX$ это движение сопоставит отрезок $A'​X'​$,​ где точка $X'$ лежит на отрезки $B'​C'​$.
 +
 +Все эти отрезки $A'​X'​$ заполнят треугольник $A'​B'​C'​$.
 +
 +Таким образом внутренность треугольника $ABC$ переходит во внутренность треугольника $A'​B'​C'​$.
 +
 +=====Свойство 6=====
 +Движение сохраняет величины углов.
 +
 +====Доказательство====
 +Рассмотрим три точки $A, B, C,$ не лежащие на одной прямой.
 +
 +Она задают лучи $AB$ и $AC$, являющиеся сторонами угла $BAC$.
 +
 +Пусть $A', B', C'$ -- соответственно образы рассматриваемых точек $A, B, C$.
 +
 +Докажем,​ что $\a BAC=\a B'​A'​C'​$.
 +
 +Действительно,​ так как треугольник $A'​B'​C'​$ является образом треугольника $ABC$, то эти треугольники равны. ​
 +
 +Следовательно,​ и углы этих треугольников соответственно равны, в частности,​ $\a BAC=\a B'​A'​C'​$.
 +
 +=====Свойство 7===== ​    
 +При движении сохраняются площади многоугольных фигур (произвольных фигур).
 +
 +====Доказательство====
 +Многоугольные фигуры составляются из треугольников,​ площади которых при движении сохраняются.
 +
 +Следовательно,​ и площади многоугольных фигур сохраняются.
 +
 +Для произвольных фигур утверждение следует из того, что произвольную фигуру можно приблизить многоугольной
 +фигурой.
 +=====Определение=====
 +Две фигуры называются равными,​ если существует движение,​ переводящее
 +одну из них в другую.
math-public/preobrazovaniya-ploskosti-dvizheniya.txt · Последние изменения: 2016/05/05 11:39 — labreslav