math-public:priznaki-ravenstva-treugolnikov
Различия
Показаны различия между двумя версиями страницы.
Следующая версия | Предыдущая версия | ||
math-public:priznaki-ravenstva-treugolnikov [2016/05/05 12:59] – создано labreslav | math-public:priznaki-ravenstva-treugolnikov [2016/05/06 11:15] (текущий) – labreslav | ||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | ======Признаки равенства треугольников====== | ||
+ | =====Определение===== | ||
+ | Треугольник -- это геометрическая фигура, | ||
+ | точек, не лежащих на одной прямой, | ||
+ | три точки. | ||
+ | |||
+ | =====Определение===== | ||
+ | Треугольники называются равными, | ||
+ | =====Теорема===== | ||
+ | Пусть на прямой $AB$ точка $O$ лежит между точками $A$ и $B$. Если | ||
+ | от лучей $OA$ и $OB$ в разные полуплоскости отложить лучи $OC$ и | ||
+ | $OD$ соответственно так, чтобы $\angle COA=\angle DOB$, то точки $C, | ||
+ | O$ и $D$ лежат на одной прямой. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | | ||
+ | Предположим противное. | ||
+ | |||
+ | Тогда продолжим луч $CO$ за точку $O$: получим луч $OC_1$ | ||
+ | |||
+ | Тогда $\angle COA=\angle BOC_1$, как вертикальные, | ||
+ | |||
+ | =====Первый признак равенства треугольников===== | ||
+ | Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого | ||
+ | треугольника, | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, | ||
+ | AC=A_1C_1, \angle A=\angle A_1$. | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Так как $\angle A=\angle A_1$, то согласно аксиоме треугольник $ABC$ можно наложить на треугольник | ||
+ | $A_1B_1C_1$ так, что вершина $A$ совместиться с вершиной $A_1$, а стороны $AB$ и $AC$ наложатся соответственно на лучи $A_1B_1$ и $A_1C_1$. | ||
+ | |||
+ | В силу аксиомы, | ||
+ | совместиться. | ||
+ | |||
+ | В частности совместятся точки $B$ и $B_1$, $C$ и $C_1$. | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | |||
+ | Итак, треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ полностью совместились. | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | |||
+ | =====Второй признак равенства треугольников===== | ||
+ | Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника | ||
+ | соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого | ||
+ | треугольника, | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, | ||
+ | \angle A=\angle A_1, \angle B=\angle B_1$. | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Наложим треугольник $ABC$ на треугольник $A_1B_1C_1$ так, чтобы вершина $A$ совместилась с вершиной $A$, | ||
+ | сторона $AB$ -- с равной ей стороной $A_1B_1$, а вершины $C$ и $C_1$ | ||
+ | оказались по одну сторону от прямой $A_1B_1$. | ||
+ | |||
+ | Так как $\angle A=\angle A_1$ и $\angle B=\angle B_1$, то по сторона $AC$ наложится | ||
+ | на луч $A_1C_1$, а сторона $BC$ -- на луч $B_1C_1$. | ||
+ | |||
+ | Поэтому вершина $C$ -- общая точка сторон $AC$ и $BC$ -- окажется как лежащей на | ||
+ | луче $A_1C_1$, так и на луче $B_1C_1$ и, следовательно, | ||
+ | с общей точкой этих лучей -- вершиной $C_1$. | ||
+ | |||
+ | Значит, | ||
+ | |||
+ | Итак треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ полностью совместятся. | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | =====Третий признак равенства треугольников===== | ||
+ | Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем | ||
+ | сторонам другого треугольника, | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, | ||
+ | AC=A_1C_1, BC=B_1C_1$. | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Приложим треугольник $ABC$ к треугольнику $A_1B_1C_1$ так, чтобы | ||
+ | вершина $A$ совместилась с вершиной $A_1$, вершина $B$ -- C вершиной | ||
+ | $B_1$, а вершины $C$ и $C_1$ оказались по разные стороны от прямой | ||
+ | $A_1B_1$. | ||
+ | |||
+ | Возможны три случая: | ||
+ | - луч $C_1C$ проходит внутри угла $A_1C_1B_1$ | ||
+ | - луч $C_1C$ совпадает с одной из сторон этого угла | ||
+ | - луч $C_1C$ проходит вне угла $A_1C_1B_1$. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | {{: | ||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ===Рассмотрим первый случай.=== | ||
+ | |||
+ | По условию теоремы $AB=A_1B_1, AC=A_1C_1, BC=B_1C_1$, следовательно, | ||
+ | $A_1C_1C$ и $B_1C_1C$ -- равнобедренные. | ||
+ | |||
+ | По теореме $\angle 1=\angle 2, \angle 3=\angle 4$, поэтому $\angle | ||
+ | A_1CB_1=\angle A_1C_1B_1$. | ||
+ | |||
+ | Итак, $AC=A_1C_1, BC=B_1C_1, \angle C=\angle C_1$. | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | |||
+ | ===Рассмотрим второй случай.=== | ||
+ | |||
+ | Пусть луч $C_1C$ совпадает со стороной $C_1B$ угла $A_1C_1B_1$. | ||
+ | |||
+ | Тогда, так как $AC=A_1C_1$, | ||
+ | |||
+ | Тогда треугольники $A_1BC_1$ и $ABC$ равны по первому признаку равенства треугольников. | ||
+ | |||
+ | ===Рассмотрим третий случай.=== | ||
+ | Третий случай доказывается аналогично первому. |
math-public/priznaki-ravenstva-treugolnikov.txt · Последнее изменение: 2016/05/06 11:15 — labreslav