Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:priznaki-ravenstva-treugolnikov [2016/05/06 11:09] – labreslav
+++ math-public:priznaki-ravenstva-treugolnikov [2016/05/06 11:15] (текущий) – labreslav
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+======Признаки равенства треугольников======
+=====Определение=====
+Треугольник --  это геометрическая фигура, которая состоит из трёх
+точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, соединяющих эти
+три точки.
+=====Определение=====
+Треугольники называются равными, если их можно совместить наложением.
+=====Теорема=====
+Пусть на прямой $AB$ точка $O$ лежит между точками $A$ и $B$. Если
+от лучей $OA$ и $OB$ в разные полуплоскости отложить лучи $OC$ и
+$OD$ соответственно так, чтобы $\angle COA=\angle DOB$, то точки $C,
+O$ и $D$ лежат на одной прямой.
+{{:math-public:008_3.jpg?direct&300|}}
+ ====Доказательство====
+Предположим противное.
+Тогда продолжим луч $CO$ за точку $O$: получим луч $OC_1$
+Тогда $\angle COA=\angle BOC_1$, как вертикальные, и от луча $OB$ отложены два равных угла $\angle DOB$ и $\angle COC_1$, что противоречит аксиоме.
+=====Первый признак равенства треугольников=====
+Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого
+треугольника, то такие треугольники равны.
+{{:math-public:001.jpg?direct&200|}}
+====Доказательство====
+Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, у которых $AB=A_1B_1,
+AC=A_1C_1, \angle A=\angle A_1$.
+Докажем, что $\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1$.
+Так как $\angle A=\angle A_1$, то согласно аксиоме треугольник $ABC$ можно наложить на треугольник
+$A_1B_1C_1$ так, что вершина $A$ совместиться с вершиной $A_1$, а стороны $AB$ и $AC$ наложатся соответственно на лучи $A_1B_1$ и $A_1C_1$.
+В силу аксиомы, так как $AB=A_1B_1$ и $AC=A_1C_1$, то стороны $AB$ и $A_1B_1$, $AC$ и $A_1C_1$
+совместиться.
+В частности совместятся точки $B$ и $B_1$, $C$ и $C_1$.
+Следовательно, по аксиоме совместятся и стороны $BC$ и $B_1C_1$.
+Итак, треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ полностью совместились.
+Следовательно, согласно определению, они равны.
+=====Второй признак равенства треугольников=====
+Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника
+соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого
+треугольника, то такие треугольники равны.
+{{:math-public:002.jpg?direct&200|}}
+====Доказательство====
+Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, у которых $AB=A_1B_1,
+\angle A=\angle A_1, \angle B=\angle B_1$.
+Докажем, что $\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1$.
+Наложим треугольник $ABC$ на треугольник $A_1B_1C_1$ так, чтобы вершина $A$ совместилась с вершиной $A$,
+сторона $AB$ -- с равной ей стороной $A_1B_1$, а вершины $C$ и $C_1$
+оказались по одну сторону от прямой $A_1B_1$.
+Так как $\angle A=\angle A_1$ и $\angle B=\angle B_1$, то по сторона $AC$ наложится
+на луч $A_1C_1$, а сторона $BC$ -- на луч $B_1C_1$.
+Поэтому вершина $C$ -- общая точка сторон $AC$ и $BC$ -- окажется как лежащей на
+луче $A_1C_1$, так и на луче $B_1C_1$ и, следовательно, совместиться
+с общей точкой этих лучей -- вершиной $C_1$.
+Значит, совместятся стороны $AC$ и $A_1C_1$, $BC$ и $B_1C_1$.
+Итак треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ полностью совместятся.
+Следовательно, они равны.
+=====Третий признак равенства треугольников=====
+Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем
+сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
+{{:math-public:003.jpg?direct&200|}}
+====Доказательство====
+Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, у которых $AB=A_1B_1,
+AC=A_1C_1, BC=B_1C_1$.
+Докажем, что $\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1$.
+Приложим треугольник $ABC$ к треугольнику $A_1B_1C_1$ так, чтобы
+вершина $A$ совместилась с вершиной $A_1$, вершина $B$ -- C вершиной
+$B_1$, а вершины $C$ и $C_1$ оказались по разные стороны от прямой
+$A_1B_1$.
+Возможны три случая:
+  - луч $C_1C$ проходит внутри угла $A_1C_1B_1$
+  - луч $C_1C$ совпадает с одной из сторон этого угла
+  - луч $C_1C$ проходит вне угла $A_1C_1B_1$.
+{{:math-public:004a.jpg?direct&200|}}
+{{:math-public:004c.jpg?direct&200|}}
+{{:math-public:004b.jpg?direct&200|}}
+===Рассмотрим первый случай.===
+По условию теоремы $AB=A_1B_1, AC=A_1C_1, BC=B_1C_1$, следовательно, треугольники
+$A_1C_1C$ и $B_1C_1C$ -- равнобедренные.
+По теореме $\angle 1=\angle 2, \angle 3=\angle 4$, поэтому $\angle
+A_1CB_1=\angle A_1C_1B_1$.
+Итак, $AC=A_1C_1, BC=B_1C_1, \angle C=\angle C_1$.
+Следовательно, треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны по первому признаку равенства треугольников.
+===Рассмотрим второй случай.===
+Пусть луч $C_1C$ совпадает со стороной $C_1B$ угла $A_1C_1B_1$.
+Тогда, так как $AC=A_1C_1$, то треугольник $СA_1C_1$ равнобедренный, и ,следовательно, $\angle C=\angle C_1$.
+Тогда треугольники $A_1BC_1$ и $ABC$ равны по первому признаку равенства треугольников.
+===Рассмотрим третий случай.===
+Третий случай доказывается аналогично первому.