Инструменты пользователя

Инструменты сайта


math-public:priznaki_parallelogramma

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

math-public:priznaki_parallelogramma [2016/04/07 17:44]
labreslav создано
math-public:priznaki_parallelogramma [2017/04/17 17:06] (текущий)
labreslav
Строка 1: Строка 1:
 +=====Признаки параллелограмма=====
 +
 +  - Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник -- параллелограмм.
 +  - Если две противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны,​ то этот четырехугольник параллелограмм.
 +  - Если диагонали четырехугольника делятся точкой пересечения пополам,​ то этот четырехугольник -- параллелограмм.
 +  - Если противоположные углы четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник -- параллелограмм.
 +
 +{{:​math-public:​023.jpg?​direct&​300|}}{{:​math-public:​024.jpg?​direct&​300|}}
 +====Доказательство====
 +===Докажем первый пункт теоремы.===
 +Рассмотрим четырехугольник $ABCD$, в котором $AB=CD, BC=AD$.\\
 +
 +Докажем,​ что $ABCD$ -- параллелограмм.\\
 +
 +Проведем диагональ $AC$.\\
 +
 +Треугольники $\triangle ACB$ и $\triangle ACD$ равны по третьему признаку равенства,​ следовательно $\angle 3=\angle 4$.\\
 +
 +Но так как эти углы являются накрест лежащими при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$, то $AB\parallel CD$.\\
 +
 +Аналогично $\angle 1=\angle 2$, и следовательно $BC\parallel AD$.\\
 +А значит,​ $ABCD$ -- параллелограмм по определению.
 +
 +===Докажем второй пункт теоремы.===
 +Рассмотрим четырехугольник $ABCD$, в котором $AB=CD$ и $AB\parallel
 +CD$.\\
 +
 +Докажем,​ что тогда $ABCD$ --
 +параллелограмм.\\
 +
 +Проведем диагональ $AC$.\\
 +
 +Треугольники $\triangle ACB$ и $\triangle ACD$ равны по второму признаку равенства ($AB=CD$, $AC$ --
 +общая, $\angle 3=\angle 4$, как накрест лежащие).\\
 +
 +Следовательно,​ $BC=AD$.\\
 +
 +Тогда $ABCD$ -- параллелограмм по первому пункту теоремы.
 +===Докажем третий пункт теоремы.===
 +Рассмотрим четырехугольник $ABCD$, в котором диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, и при этом $AO=OC, BO=OD$.\\
 +
 +Докажем,​ что $ABCD$ -- параллелограмм.\\
 +
 +Действительно,​ $\angle AOB=\angle COD, \angle BOC=\angle AOD$, как
 +вертикальные,​ следовательно,​ $\triangle AOB=\triangle COD, \triangle BOC=\triangle AOD$ по второму признаку равенства.\\
 +
 +Тогда $AB=CD$ и $BC=AD$, и, следовательно,​ $ABCD$ -- параллелограмм по первому пункту теоремы.
 +===Докажем четвертый пункт теоремы.===
 +
 +Обозначим $\angle A=\angle C=\alpha, \angle B=\angle
 +D=\beta$.\\
 +
 +Так как сумма углов четырёхугольника равна $360^\circ$,​ то
 +$2\alpha+2\beta=360^\circ$,​ то есть $\alpha+\beta=180^\circ$.\\
 +
 +Но тогда $\angle A+\angle B=180^\circ$,​ и, так как это односторонние
 +углы при прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AB$, $AD\parallel BC$.\\
 +
 +Аналогично,​ $\angle A+\angle D=180^\circ$,​ то есть $AB\parallel CD$.\\
 +
 +Таким образом $ABCD$ -- параллелограмм по определению.
  
math-public/priznaki_parallelogramma.txt · Последние изменения: 2017/04/17 17:06 — labreslav