math-public:proekciya-vectora
Различия
Показаны различия между двумя версиями страницы.
Предыдущая версия справа и слеваПредыдущая версияСледующая версия | Предыдущая версия | ||
math-public:proekciya-vectora [2016/10/04 19:42] – [Замечание] labreslav | math-public:proekciya-vectora [2017/06/12 23:56] (текущий) – [Теорема (о вычислении проекции вектора)] labreslav | ||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | ====Определение==== | ||
+ | Проекцией точки $M$ на прямую $a$ называется основание перпендикуляра, | ||
+ | ====Определение==== | ||
+ | Проекцией отрезка на прямую $a$ называется множество проекций всех точек этого отрезка на прямую $a$. | ||
+ | |||
+ | ====Теорема==== | ||
+ | Проекцией отрезка, | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | {{: | ||
+ | ===Доказательство=== | ||
+ | Рассмотрим острый угол $\angle POQ$ и отрезок $AB$, лежащий на стороне $OP$ этого угла (рис. 111, а). Пусть $A_1$ и $B_1$ – проекции точек $A$ и $B$ на прямую $OQ$. | ||
+ | |||
+ | Наглядно видно, что отрезок $A_1B_1$ является проекцией отрезка $AB$ на прямую $OQ$. Однако этот факт требует обоснования: | ||
+ | |||
+ | Начнем с доказательства первого утверждения. | ||
+ | |||
+ | Пусть $M_1$ – проекция точки $M$ отрезка $AB$ на прямую $OQ$ (рис. 111, б). Докажем, | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | |||
+ | Пусть теперь $M_1$ – произвольная точка отрезка $A_1B_1$. Докажем, | ||
+ | |||
+ | Отметим, | ||
+ | |||
+ | |||
+ | =====Определение===== | ||
+ | Проекцией вектора $\overrightarrow{AB}$ на прямую $p$ называется вектор $\overrightarrow{A_1B_1}$, | ||
+ | |||
+ | ====Определение==== | ||
+ | Углом между двумя ненулевыми векторами называется величина образуемого ими угла, когда они отложены от одной точки. Если векторы сонаправлены, | ||
+ | |||
+ | ====Теорема==== | ||
+ | Угол между векторами не зависит от выбора точки, от которой они откладываются. | ||
+ | ===Доказательство=== | ||
+ | Для коллинеарных векторов утверждение теоремы очевидно. Докажем теорему для неколлинеарных векторов. | ||
+ | |||
+ | Пусть $\vec{a}$ и $\vec{b}$ -- два неколлинеарных вектора. Отложим их от точки $O$, тогда $\overrightarrow{OA}=\vec{a}, | ||
+ | |||
+ | Пусть прямые $OA$ и $O_1B_1$ пересекаются в некоторой точке $O_2$. Обозначим буквой $\alpha$ тот угол с вершиной в точке $O_2$, который будет соответственным с углом $AOB$ (при параллельных $OB, O_2B_1$ и секущей $OO_2$). | ||
+ | |||
+ | По свойствам параллельных прямых $\alpha=\angle AOB$. | ||
+ | |||
+ | Но тот же угол $\alpha$ будет соответственным и для угла $A_1O_1B_1$ (при параллельных прямых $A_1O_1, AO_2$ и секущей $O_1O_2$). Поэтому (по тому же свойству) $\alpha=\angle A_1O_1B_1$. | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | |||
+ | =====Определение===== | ||
+ | Координатная ось -- это прямая (обозначим её $x$), на которой выбраны точка $O$ -- начало координат, | ||
+ | |||
+ | =====Определение==== | ||
+ | Координатой точки $M$, лежащей на оси $x$, называется такое число $x_M$, что $\overrightarrow{OM}=x_M\cdot \vec{e}$, где $\vec{e}$ -- единичный вектор оси $x$. | ||
+ | |||
+ | ====Определение==== | ||
+ | Проекцией $v_x$ вектора $\vec{v}=\overrightarrow{AB}$ на ось $x$ называется длина отрезка $A_1B_1$ взятая со знаком << | ||
+ | |||
+ | =====Замечание===== | ||
+ | Векторная и числовая проекции вектора $\vec{v}$ на ось $x$ с единичным вектором $\vec{e}$ связаны соотношением $\overrightarrow{pr_{x}\vec{v}}=v_x\cdot\vec{e}$. | ||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | ... | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | =====Лемма===== | ||
+ | Если точки $A$ и $B$ лежат на оси $x$ и имеют координаты $x_A$ и $x_B$ соответственно, | ||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | ... | ||
+ | =====Теорема (о вычислении проекции вектора)===== | ||
+ | |||
+ | Проекция вектора $\vec{v}=\overrightarrow{AB}$ на ось $x$ равна $v_x=x_B-x_A$, | ||
+ | |||
+ | ===Доказательство=== | ||
+ | Пусть проекциями точек $A$ и $B$ на ось $x$ являются точки $A_1$ и $B_1$ соответственно. ОбозначимИзвестно, | ||
+ | |||
+ | Если $\overrightarrow{A_1B_1}\neq\vec{0}$ и $\overrightarrow{A_1B_1}\upuparrows \vec{e}$, то $x_B> | ||
+ | |||
+ | Если $\overrightarrow{A_1B_1}\updownarrows \vec{e}$, то $x_B< | ||
+ | |||
+ | Если $\overrightarrow{A_1B_1}=\vec{0}$, | ||
+ | |||
+ | Итак, во всех случаях $v_x=x_B-x_A$. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ====Определение==== | ||
+ | Углом между вектором и координатной осью называется угол между вектором и единичным вектором этой оси. | ||
+ | |||
+ | =====Теорема (о вычислении проекции вектора через косинус)===== | ||
+ | Проекция ненулевого вектора на ось равна длине этого вектора, | ||
+ | ===Доказательство=== | ||
+ | Пусть дан вектор $\vec{v}=\overrightarrow{AB}\neq\vec{0}$, | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Возможны следующие случаи: | ||
+ | |||
+ | 1) Угол $\varphi = 0^\circ$. Тогда $\overrightarrow{AB}=\vec{e}$, | ||
+ | |||
+ | 2) Угол $\varphi$ острый. Пусть точка $A$ не лежит на оси $x$. Через точку $A$ проведем прямую $p$, параллельную оси $x$. Пусть точка $C$ -- проекция точки $B$ на прямую $p$. Получим прямоугольный треугольник $ABC$ с углом $\varphi$ при вершине $A$ и прямоугольник $AA_1B_1C$. Тогда $v_x=|\overrightarrow{A_1B_1}|=AC=AB\cos{\varphi}=|\vec{v}|\cos{\varphi}$, | ||
+ | |||
+ | Если точка $A$ лежит на оси $x$? то равенство $(1)$ вытекает из прямоугольного треугольника $ABB_1$. | ||
+ | |||
+ | 3) Угол $\varphi=90^\circ$. В этом случае $\overrightarrow{AB}=\vec{e}$, | ||
+ | |||
+ | 4) Угол $\varphi$ тупой. Сначала через точку $A$ проводим прямую $p$, параллельную оси $x$, и проецируем на нее точку $B$ в точку $C$юСнова получим прямоугольный треугольник $ABC$. Его угол при вершине $A$ равен $180^\circ-\varphi$. Поэтому $AC=AB\cos{(180^\circ-\varphi)}=-AB\cos{\varphi}$. В рассматриваемом случае $\overrightarrow{A_1B_1}\updownarrows\vec{e}$, | ||
+ | |||
+ | Если же точка $A$ лежит на прямой $x$ то доказательство только упрощается соответственным образом. | ||
+ | |||
+ | 5) Угол $\varphi=180^\circ$. Тогда $\overrightarrow{AB}\updownarrows\vec{e}$, | ||
+ | ====Свойство 1==== | ||
+ | Равные векторы имеют равные проекции на заданную ось. | ||
+ | ===Доказательство=== | ||
+ | Проекция вектора $\vec{v}$ зависит лишь от длины этого вектора и угла $\varphi$, который он образует с данной осью, так как $v_x=|\vec{v}|\cos{\varphi}$. Равные же векторы имеют, во-первых, | ||
+ | ====Свойство 2==== | ||
+ | При сложении векторов их проекции на ось складываются. | ||
+ | ===Доказательство=== | ||
+ | |||
+ | Сложим любые два вектора $\vec{a}=\overrightarrow{AB}$ и $\vec{b}=\overrightarrow{BC}$. Получим вектор $\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$. Пусть точки $A_1, B_1, C_1$ -- проекции точек $A, B, C$ на ось $x$, а $x_A, x_B, x_C$ -- их координатыб и $a_x, b_x, c_x$ -- проекции векторов $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ на ось $x$. | ||
+ | |||
+ | Так как $a_x=x_B-x_A, | ||
+ | |||
+ | C другой стороны $c_x=x_C-x_A$. | ||
+ | |||
+ | Поэтому $c_x=a_x+b_x$. | ||
+ | ====Свойство 3==== | ||
+ | При умножении вектора на число его проекция умножается на это число. | ||
+ | ===Доказательство=== | ||
+ | Пусть $x$ -- ось с начальной точкой $O$ и единичным вектором $\vec{e}$. Возьмем любой вектор $\vec{a}$ и отложим его от точки $O$: $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$. Пусть $\varphi$ -- угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{e}$. Умножим вектор $\vec{a}$ на число $\alpha$. Получим вектор $\vec{b}=\overrightarrow{OB}=\alpha\vec{a}$. Необходимо доказать, | ||
+ | |||
+ | Возможны следующие случаи: | ||
+ | |||
+ | 1) $\alpha> | ||
+ | |||
+ | 2) $\alpha< | ||
+ | |||
+ | 3) $\alpha=0$. Тогда $\vec{b}=\alpha \vec{a}=\vec{0}$, | ||
+ | |||
+ | ====Следствие==== | ||
+ | Проекция линейной комбинации векторов, |
math-public/proekciya-vectora.1475599323.txt.bz2 · Последнее изменение: 2016/10/04 19:42 — labreslav