Президентский ФМЛ №239

Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно.
======Пропорциональные отрезки в круге======
=====Теорема о произведении отрезков хорд=====
Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков
одной хорды, равно произведению отрезков другой хорды.


{{:math-public:087.jpg?direct&300|}}


====Доказательство====
Пусть в окружности хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$.

Докажем, что $AE\cdot EB=CE\cdot ED$.

Рассмотрим треугольники $ADE$ и $CBE$.

В этих треугольниках $\angle 1=\angle 2=\frac{1}{2}\buildrel\,\,\frown\over{BD}$, так как они вписанные.

Кроме того $\angle 3=\angle 4$, как вертикальные.

Следовательно, $\triangle ADE\sim\triangle CBE$ по первому признаку подобия.

Отсюда $\dfrac{AE}{CE}=\dfrac{DE}{BE}$, или $AE\cdot EB=CE\cdot ED$.

=====Теорема о квадрате касательной=====
Если через точку $M$ проведена касательная $MK$ ($K$ -- точка
касания) и секущая, пересекающая окружность в точках $A$ и $B$, то
$MK^2=MA\cdot MB$.

{{:math-public:081.jpg?direct&300|}}

====Доказательство====
Пусть из точки $M$ к окружности проведены касательная $MK$ и секущая
$MB$, пересекающая окружность в точке $A$.

Докажем, что $MK^2=MA\cdot MB$.

Обозначим $\alpha=\arc{AK}$. 

Тогда $\angle B=\dfrac{\alpha}{2}$.

Кроме того $\angle MKA=\dfrac{\alpha}{2}$, как угол между касательной и хордой.

Тогда $\triangle MKA\sim\triangle MKB$ по первому признаку подобия ($\angle B=\angle MKA$, $\angle M$ -- общий). 

Тогда $\dfrac{KM}{AM}=\dfrac{BM}{KM}$, или $KM^2=AM\cdot BM$.

====Теорема о произведении отрезков секущих====
Если через точку $M$ проведены две секущие, одна из которых
пересекает окружность в точках $A$ и $B$, а другая -- в точках $C$ и
$D$, то $MA\cdot MB=MC\cdot MD$.

{{:math-public:088.jpg?direct&300|}}

====Доказательство====
Пусть через точку $M$ проведены две секущие, одна из которых пересекает окружность в точках $A$ и $B$, а другая -- в точках $C$ и $D$.

Докажем что $MA\cdot MB=MC\cdot MD$.

Проведем из точки $M$ к данной окружности касательную $MK$.

По теореме $MK^2=MA\cdot MB$ и $MK^2=MC\cdot MD$, откуда $MA\cdot MB=MC\cdot MD$.

=====Определение=====
Пусть через точку $M$ проведена прямая, пересекающая данную
окружность в точках $A$ и $B$. Степенью точки $M$ относительно
данной окружности называется произведение $MA\cdot MB$.

=====Теорема о степени точки=====
Степень точки относительно данной окружность не зависит от выбора
прямой.

====Доказательство==== 

Эта теорема является прямым
следствием предыдущих трёх теорем.