math-public:proporcionalnye_otrezki_v_kruge
Различия
Показаны различия между двумя версиями страницы.
Предыдущая версия справа и слеваПредыдущая версия | |||
math-public:proporcionalnye_otrezki_v_kruge [2016/04/27 20:11] – [Доказательство] labreslav | math-public:proporcionalnye_otrezki_v_kruge [2021/01/26 22:38] (текущий) – [Теоерема о степени точки] labreslav | ||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | ======Пропорциональные отрезки в круге====== | ||
+ | =====Теорема о произведении отрезков хорд===== | ||
+ | Если две хорды окружности пересекаются, | ||
+ | одной хорды, равно произведению отрезков другой хорды. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Пусть в окружности хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$. | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Рассмотрим треугольники $ADE$ и $CBE$. | ||
+ | |||
+ | В этих треугольниках $\angle 1=\angle 2=\frac{1}{2}\buildrel\, | ||
+ | |||
+ | Кроме того $\angle 3=\angle 4$, как вертикальные. | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | |||
+ | Отсюда $\dfrac{AE}{CE}=\dfrac{DE}{BE}$, | ||
+ | |||
+ | =====Теорема о квадрате касательной===== | ||
+ | Если через точку $M$ проведена касательная $MK$ ($K$ -- точка | ||
+ | касания) и секущая, | ||
+ | $MK^2=MA\cdot MB$. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Пусть из точки $M$ к окружности проведены касательная $MK$ и секущая | ||
+ | $MB$, пересекающая окружность в точке $A$. | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Обозначим $\alpha=\arc{AK}$. | ||
+ | |||
+ | Тогда $\angle B=\dfrac{\alpha}{2}$. | ||
+ | |||
+ | Кроме того $\angle MKA=\dfrac{\alpha}{2}$, | ||
+ | |||
+ | Тогда $\triangle MKA\sim\triangle MKB$ по первому признаку подобия ($\angle B=\angle MKA$, $\angle M$ -- общий). | ||
+ | |||
+ | Тогда $\dfrac{KM}{AM}=\dfrac{BM}{KM}$, | ||
+ | |||
+ | ====Теорема о произведении отрезков секущих==== | ||
+ | Если через точку $M$ проведены две секущие, | ||
+ | пересекает окружность в точках $A$ и $B$, а другая -- в точках $C$ и | ||
+ | $D$, то $MA\cdot MB=MC\cdot MD$. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Пусть через точку $M$ проведены две секущие, | ||
+ | |||
+ | Докажем что $MA\cdot MB=MC\cdot MD$. | ||
+ | |||
+ | Проведем из точки $M$ к данной окружности касательную $MK$. | ||
+ | |||
+ | По теореме $MK^2=MA\cdot MB$ и $MK^2=MC\cdot MD$, откуда $MA\cdot MB=MC\cdot MD$. | ||
+ | |||
+ | =====Определение===== | ||
+ | Пусть через точку $M$ проведена прямая, | ||
+ | окружность в точках $A$ и $B$. Степенью точки $M$ относительно | ||
+ | данной окружности называется произведение $MA\cdot MB$. | ||
+ | |||
+ | =====Теорема о степени точки===== | ||
+ | Степень точки относительно данной окружность не зависит от выбора | ||
+ | прямой. | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | |||
+ | Эта теорема является прямым | ||
+ | следствием предыдущих трёх теорем. | ||
math-public/proporcionalnye_otrezki_v_kruge.1461777080.txt.bz2 · Последнее изменение: 2016/04/27 20:11 — labreslav