math-public:proporcionalnye_otrezki_v_pryamougolnom_treugolnike
no way to compare when less than two revisions
Различия
Показаны различия между двумя версиями страницы.
— | math-public:proporcionalnye_otrezki_v_pryamougolnom_treugolnike [2016/04/07 20:43] (текущий) – создано labreslav | ||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | =====Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике===== | ||
+ | Пусть в прямоугольном треугольнике $ABC$ из вершины прямого угла $C$ | ||
+ | проведена высота $CH$, $AB=c, BC=a, CA=b, AH=b_c, BH=a_c$. В этих | ||
+ | обозначениях выполняются следующие соотношения: | ||
+ | |||
+ | - $h=\sqrt{a_cb_c}$. | ||
+ | - $h=\frac{ab}{c}$. | ||
+ | - $\dfrac{a_c}{b_c}=\dfrac{a^2}{b^2}$. | ||
+ | - $a^2=a_cc$. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Из треугольника $ABC$ $\angle 2=90^\circ-\angle 1$. C другой стороны из | ||
+ | треугольника $CHA$ $\angle 3=90^\circ-\angle 1$, следовательно $\angle 2=\angle 3$. | ||
+ | Кроме того $\angle 4=90^\circ-\angle 3=\angle 1$.\\ | ||
+ | |||
+ | | ||
+ | $ABC$, $ACH$ и $CHB$ подобны по первому признаку подобия | ||
+ | треугольников.\\ | ||
+ | |||
+ | Тогда из подобия треугольников $ABC$ и $ACH$ | ||
+ | получаем: | ||
+ | |||
+ | Откуда получаем, | ||
+ | что $h=\dfrac{ab}{c}$.\\ | ||
+ | |||
+ | Из подобия треугольник $ACH$ и $BCH$ получаем: | ||
+ | $\dfrac{b}{a}=\dfrac{b_c}{h}=\dfrac{h}{a_c}$.\\ | ||
+ | |||
+ | Откуда получаем, | ||
+ | |||
+ | Из подобия треугольников $BCH$ и | ||
+ | $ABC$ получаем: | ||
+ | |||
+ | Кроме того | ||
+ | $a_c=\dfrac{ha}{b}$.\\ | ||
+ | |||
+ | Разделив эту формулу на формулу для $b_c$, | ||
+ | полученную из второй пропорции, | ||
+ | $\dfrac{a_c}{b_c}=\dfrac{a^2}{b^2}$.\\ | ||
+ | |||
+ | | ||
+ | $\dfrac{a}{c}=\dfrac{a_c}{a}$ получим, | ||
math-public/proporcionalnye_otrezki_v_pryamougolnom_treugolnike.txt · Последнее изменение: 2016/04/07 20:43 — labreslav