Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:pryamougolnyj-treugolnik-priznaki-ravenstva [2016/05/05 13:03] – создано labreslav
+++ math-public:pryamougolnyj-treugolnik-priznaki-ravenstva [2020/12/25 22:35] (текущий) – [Признаки равенства прямоугольных треугольников] labreslav
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+===== Признаки равенства прямоугольных треугольников =====
+  - По двум катетам.
+  - По гипотенузе и острому углу.
+  - По катету и прилежащему острому углу.
+  - По катету и гипотенузе.
+[[http://wiki.sch239.net/lib/exe/fetch.php?media=math-public:016.jpg|{{:math-public:016.jpg?direct&300}}]]
+====Доказательство====
+Первый пункт теоремы верен, так как между катетами таких
+треугольников будут заключены равные между собой прямые углы, и
+треугольники будут равны по первому признаку равенства.
+Второй и третий пункты теоремы верны, так как если острый угол одного
+прямоугольного треугольника равен острому углу другого
+прямоугольного треугольника, то их вторые острые углы тоже будут
+равны.
+Тогда треугольники будут равны по
+второму признаку равенства.
+===Докажем четвертый пункт теоремы.===
+===Первый способ.===
+Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, у которых $\angle C=\angle C_1=90^\circ, AB=A_1B_1, BC=B_1C_1$.
+Докажем, что $\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1$.
+Так как $\angle C=\angle C_1$, то треугольник $ABC$ можно наложить на треугольник $A_1B_1C_1$ так, что вершина $C$ совместиться с вершиной $C_1$, а стороны $CA$ и $CB$ наложатся на лучи $C_1A$ и $C_1B$.
+Поскольку $CB=C_1B_1$, то вершина $B$ наложится на вершину $B_1$.
+Докажем, что вершина $A$ наложится на вершину $A_1$.
+Действительно, если предположить, что точка $A$ совместиться с некоторой точкой
+$A_2$ луча $C_1A_1$, то получится, что треугольник $A_1B_1A_2$ --
+равнобедренный, и, следовательно, $\angle A_1=\angle A_2$.
+Но это невозможно, так как $\angle A_2$ -- острый (как угол прямоугольного треугольника $B_1C_1A_2$), а $\angle A_1$ -- тупой ( как смежный с острым углом $\angle C_1A_1B_1$).
+===Второй способ.===
+Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, у которых $\angle C=\angle C_1=90^\circ, AB=A_1B_1, BC=B_1C_1$.
+Докажем, что $\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1$.
+Действительно по теореме Пифагора $AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{A_1B_1^2-B_1C_1^2}=A_1C_1$.
+Тогда треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны по третьему признаку равенства.