Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:pryamougolnyj-treugolnik-s-uglom-v-30-gradusov [2016/05/05 13:02] – создано labreslav
+++ math-public:pryamougolnyj-treugolnik-s-uglom-v-30-gradusov [2019/09/03 23:13] (текущий) – [Доказательство] labreslav
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+======Прямоугольный треугольник с углом в 30 градусов======
+=====Свойство=====
+Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в
+$30^\circ$, равен половине гипотенузы.
+{{:math-public:019.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором $\angle C=90^\circ, \angle A=30^\circ$.
+Докажем, что $AB=2\cdot CB$.
+Пусть $CM$ -- медиана.
+Тогда $CM=MA=MB$, следовательно, $\triangle AMC$ и $\triangle BMC$ -- равнобедренные.
+Тогда $\angle A=\angle ACM$, следовательно, $\angle MCB=\angle CBM=60^\circ$.
+Тогда $\triangle BCM$ -- равносторонний, следовательно, $BC=BM=\frac{1}{2}\cdot AB$.
+=====Первый признак=====
+Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то
+угол, противолежащий этому катету, равен $30^\circ$.
+====Доказательство====
+Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C=90^\circ, BC=\frac{1}{2}\cdot AB$.
+Докажем, что $\angle A=30^\circ$.
+Проведем медиану $CM$. Тогда по свойству медианы прямоугольного треугольника $CM = AM = BM$.
+Тогда треугольник $CMB$ -- равносторонний, а, значит $\angle BCM = 60^\circ.$
+Тогда $\angle ACM = 30^\circ$.
+И поскольку треугольник $ACM$ -- равнобедренный, то $\angle A = \angle ACM = 30^\circ.$
+=====Второй признак=====
+Если в треугольнике напротив угла в $30^\circ$ лежит сторона, равная
+половине другой стороны этого треугольника, то треугольник
+прямоугольный.
+{{:math-public:020.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство=====
+===Первый способ.====
+Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором $AC=x, AB=2x, \angle B=30^\circ$.
+Докажем, что тогда $\angle C=90^\circ$.
+Предположим противное, тогда из точки $B$ можно опустить перпендикуляр $AC_1$ на прямую $CB$.
+Треугольник $ABC_1$ -- прямоугольный,$\angle B=30^\circ$, следовательно, $AC_1=x$.
+Тогда $\triangle CAC_1$ -- равнобедренный, и $\angle C_1=\angle ACC_1=90^\circ$, что невозможно.
+Значит, $\angle C=90^\circ.$
+{{:math-public:020_2.jpg?direct&300|}}
+===Второй способ.===
+Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором $AC=x, AB=2x, \angle B=30^\circ$.
+По теореме синусов для $\triangle ABC$: $\dfrac{x}{\sin{30^\circ}}=\dfrac{2x}{\sin{\angle C}}$.
+Тогда $\sin{\angle C}=1$, то есть $\angle C=90^\circ$.