Теорема

Рассмотрим треугольник . В нем and По теореме косинусов имеем:

$

Теорема (расстояние между ортоцентром и инцентром)

Доказательство

Чтобы центр масс треугольника попал в инцентр вершины нужно загрузить массами соответственно.

Тогда для любой точки будет верно равенство

Тогда можно взять вместо точки ортоцентр :

Вспомним, что . Тогда

Лемма 0

Лемма 1

Лемма 2

продолжение доказательства

Тогда

Теорема

Доказательство

Лемма 3

продолжение доказательства

Тогда

$=\dfrac{1}{4(p-a)^2}\left(4R^2(-a+b+c)^2-(a^4 - a^3 b - a^3 c + b^4 - a b^3 + b^3 c + c^4 - a c^3 + b c^3 + a^2 b c - a b^2 c - a b c^2)\right)$

$=\dfrac{1}{4(p-a)^2}\left(4R^2(-a+b+c)^2-( - a^3(-a+b+c) + b^3(-a+b+c) + c^3(-a+b+c) - abc(-a+b+c)\right)$

$=\dfrac{1}{4(p-a)^2}\left(16R^2(p-a)^2-2(p-a)( - a^3+ b^3+ c^3- abc)\right)$