Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:rasstojanija_hi_hia [2019/05/27 15:07] – labreslav
+++ math-public:rasstojanija_hi_hia [2019/05/27 15:10] (текущий) – [Теорема] labreslav
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+====Лемма ====
+$r = 4R\sin \frac A2\sin \frac B2\sin\frac C2$
+==== Теорема ====
 $$HI = \sqrt{2r^2-4R^2\cos A\cos B\cos C}$$
+=== Доказательство ===
+Рассмотрим треугольник $\triangle A H I$. В нем  $A P=2 R \cos A, A I=4 R \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$ and $\angle H A I=\angle \frac{B-C}{2}$
-Рассмотрим треугольник $\triangle A H I$. В нем  $A Р=2 R \cos A, A I=4 R \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$ and $\angle H A I=\angle \frac{B-C}{2}$
 По теореме косинусов имеем:
-$\begin{align}&\small PI^2=4R^2\color{red}{\cos^2A}+16R^2\sin^2\frac{B}{2}\sin^2\frac{C}{2} -16R^2\cos A\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}\Bigg(\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}+\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}\Bigg)\\&\small=4R^2\left(\cos^2A+4\sin^2\frac{B}{2}\sin^2\frac{C}{2} -4\cos A\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}\Bigg(\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}+\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}\Bigg)\right)\\&\small=4R^2\left(\cos^2A+4\sin^2\frac{B}{2}\sin^2\frac{C}{2}-\cos A\cdot \color{green}{2\sin\frac{B}{2}\cos\frac{B}{2}\cdot 2\sin\frac{C}{2}\cos\frac{C}{2}}-4\cos A\sin^2\frac{B}{2}\sin^2\frac{C}{2}\right)\\&\small=4R^2\left(\cos^2A+8\sin^2\frac{B}{2}\sin^2\frac{C}{2}\cdot \color{blue}{\frac 12\left(1-\cos A\right)}-\cos A\color{green}{\sin B\sin C}\right)\\&\small=4R^2\left(\cos^2A+8\color{blue}{\sin^2\frac A2}\sin^2\frac{B}{2}\sin^2\frac{C}{2}-\cos A\sin B\sin C\right)\\&\small=4R^2\left(8\sin^2\frac A2\sin^2\frac{B}{2}\sin^2\frac{C}{2}+\cos A(\cos A-\sin B\sin C)\right)\\&\small=4R^2\left(8\sin^2\frac A2\sin^2\frac{B}{2}\sin^2\frac{C}{2}+\cos A(\cos(180^\circ-(B+C))-\sin B\sin C)\right)\\&\small=4R^2\left(8\sin^2\frac A2\sin^2\frac{B}{2}\sin^2\frac{C}{2}-\cos A\cos B\cos C\right)\\&\small =2\left(4R\sin \frac A2\sin \frac B2\sin\frac C2\right)^2-4R^2\cos A\cos B\cos C\\&\small=2r^2-4R^2\cos A\cos B\cos C\end{align}$
+$\begin{align}&\small PI^2=4R^2\cos^2A+16R^2\sin^2\frac{B}{2}\sin^2\frac{C}{2} -16R^2\cos A\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}\Bigg(\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}+\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}\Bigg)\\&\small=4R^2\left(\cos^2A+4\sin^2\frac{B}{2}\sin^2\frac{C}{2} -4\cos A\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}\Bigg(\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}+\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}\Bigg)\right)\\&\small=4R^2\left(\cos^2A+4\sin^2\frac{B}{2}\sin^2\frac{C}{2}-\cos A\cdot 2\sin\frac{B}{2}\cos\frac{B}{2}\cdot 2\sin\frac{C}{2}\cos\frac{C}{2}-4\cos A\sin^2\frac{B}{2}\sin^2\frac{C}{2}\right)\\&\small=4R^2\left(\cos^2A+8\sin^2\frac{B}{2}\sin^2\frac{C}{2}\cdot \frac 12\left(1-\cos A\right)-\cos A\sin B\sin C\right)\\&\small=4R^2\left(\cos^2A+8\sin^2\frac A2\sin^2\frac{B}{2}\sin^2\frac{C}{2}-\cos A\sin B\sin C\right)\\&\small=4R^2\left(8\sin^2\frac A2\sin^2\frac{B}{2}\sin^2\frac{C}{2}+\cos A(\cos A-\sin B\sin C)\right)\\&\small=4R^2\left(8\sin^2\frac A2\sin^2\frac{B}{2}\sin^2\frac{C}{2}+\cos A(\cos(180^\circ-(B+C))-\sin B\sin C)\right)\\&\small=4R^2\left(8\sin^2\frac A2\sin^2\frac{B}{2}\sin^2\frac{C}{2}-\cos A\cos B\cos C\right)\\&\small =2\left(4R\sin \frac A2\sin \frac B2\sin\frac C2\right)^2-4R^2\cos A\cos B\cos C\\&\small=2r^2-4R^2\cos A\cos B\cos C\end{align}$